初中数学教学案例（一）：
一、素质教育目标
(一)知识教学点
1.掌握的三要素，能正确画出.
2.能将已知数在上表示出来，能说出上已知点所表示的数.
(二)本事训练点
1.使学生受到把实际问题抽象成数学问题的训练，逐步构成应用数学的意识.
2.对学生渗透数形结合的思想方法.
(三)德育渗透点
使学生初步了解数学来源于实践，反过来又服务于实践的辩证唯物主义观点.
(四)美育渗透点
经过画，给学生以图形美的教育，同时由于数形的结合，学生会得到和谐美的享受.
二、学法引导
1.教学方法：根据教师为主导，学生为主体的原则，始终贯穿“激发情趣—手脑并用—启发诱导—反馈矫正”的教学方法.
2.学生学法：动手画，动脑概括的三要素，动手、动脑做练习.
三、重点、难点、疑点及处理办法
1.重点：正确掌握画法和用上的'点表示有理数.
2.难点：有理数和上的点的对应关系。
四、课时安排
1课时
五、教具学具准备
电脑、投影仪、自制胶片.
六、师生互动活动设计
师生同步画，学生概括三要素，师出示投影，生动手动脑练习
七、教学步骤
(一)创设情境，引入新课
师：大家知识温度计的用途是什么
生：温度计能够测量温度
(出示投影1)
三个温度计.其中一个温度计的液面在0上20个刻度，一个温度计的液面在0下5个刻度，一个温度计的液面在0刻度.
师：三个温度计所表示的温度是多少
生：2℃，-5℃，0℃.
我们能否用类似温度计的图形表示有理数呢
这种表示数的图形就是今日我们要学的资料—(板书课题).
【教法说明】从温度计用标有读数的刻度来表示温度的高低这个事实出发，引出本节课所要学的资料—.再从温度计这个实物形象抽象出来研究.既激发了学生的学习兴趣，又使学生受到把实际问题抽象成数学问题的训练，培养了用数学的意识.
(二)探索新知，讲授新课
1.的画法
与温度计类似，能够在一条直线上画出刻度，标上读数，用直线上的点表示正数、负数和零，具体做法如下：
第一步：画直线定原点原点表示0(相当于温度计上的0℃).
第二步：规定从原点向右的为正方向那么相反的方向(从原点向左)则为负方向.(相当于温度计上℃以上为正，0℃以下为负).
第三步：选择适当的长度为单位长度(相当于温度计上每1℃占1小格的长度).
【教法说明】教师边讲解边示范，学生跟着一齐画图.培养学生动手、动脑和实际操作本事，同时，把类比作为一种重要方法贯穿于概念构成过程的始终，让学生在认知过程中领悟这种思想方法.
让学生观察画好的直线，思考以下问题：
(出示投影1)
(1)原点表示什么数
(2)原点右方表示什么数原点左方表示什么数
(3)表示+2的点在什么位置表示-1的点在什么位置
(4)原点向右0.5个单位长度的A点表示什么数原点向左个单位长度的B点表示什么数
根据教师画图的步骤，学生思考在一条水平的直线上都画出什么然后归纳出的定义。
学生活动：同学们思考，并请求同桌相互叙述，互相纠正补充，语句通顺后举手回答.大家思考准备更正或补充。
初中数学教学案例（二）：
教学目标
1.使学生认识字母表示数的意义，了解字母表示数是数学的一大增高;
2.了解代数式的概念，使学生能说出一个代数式所表示的数量关系;
3.经过对用字母表示数的讲解，初步培养学生观察和抽象思维的本事;
4.经过本节课的教学，使学生深刻体会从特殊到一般的的数学思想方法。
教学提议
1.知识结构：本小节先回顾了小学学过的字母表示的两种实例，一是运算律，二是公式，从中看出字母表示数的优越性，进而引出代数式的概念。
2.教学重点分析：教科书，介绍了小学用字母表示数的实例，一个是运算律，一个是常用公式，上述两种例子应用广泛，且能很好地体现用字母表示数所具有的简明、普遍的优越性，用字母表示是数学从算术到代数的一大增高，是代数的显著特点。运用算术的方法处理问题，是小学学生的思维方法，此刻，从具体的数过渡到用字母表示数，渗透了抽象概括的思维方法，在认识上是一个质的飞跃。对代数式的概念课文没有直接给出，而是用实例形象地说明了代数式的概念。对代数式的概念能够从三个方面去理解：
(1)从具体的数到用字母表示数，是抽象思维的开始，体现了特殊与一般的辨证关系，用字母表示数具有简明、普遍的优越性.
(2)代数式中并不请求数和表示数的字母同时出现，单独的一个数和字母也是代数式.如：2，m都是代数式.
等都不是代数式.
3.教学难点分析：能正确说出一个代数式的数量关系，即用语言表达代数式的意义，必须要理清代数式中包含的各种运算及其顺序。用语言表达代数式的意义，具体说法没有统一规定，以简明而不引起误会为出发点。
如：说出代数式7(a-3)的意义。
分析7(a-3)读成7乘a减3，这样就产生歧义，究竟是7a-3呢还是7(a-3)呢有模棱两可之感。代数式7(a-3)的最终运算是积，应把a-3作为一个整体。所以，7(a-3)的意义是7与(a-3)的积。
4.书写代数式的注意事项：
(1)代数式中数字与字母或者字母与字母相乘时，通常把乘号简写作“·”或省略不写，同时请求数字应写在字母前面.
如3×a，应写作3.a或写作3a，a×b应写作3.a或写作ab.带分数与字母相乘，应把带分数化成假分数，#FormatImgIDx0#
.数字与数字相乘一般仍用“×”号.
(2)代数式中有除法运算时，一般按照分数的写法来写.
(3)包含加减运算的代数式需注明单位时，必须要把整个式子括起来.
5.对本节例题的分析：
例1是用代数式表示几个比较简单的数量关系，这些小学都学过.比较复杂一些的数量关系的代数式表示，课文安排在下一节中专门介绍.
例2是说出一些比较简单的代数式的意义.因为代数式中用字母表示数，所以把字母也看成数，一种特殊的数，就能够像看待原先比较熟悉的数式一样，说出一个代数式所表示的数量关系，只是另外还要研究乘号可能省略等新规定而已.
6.教法提议
(1)因为这一章知识大部分在小学学习过，讲授新课之前要先复习小学学过的运算律，在学生原有的认知结构上，提出新的问题。这样即复习了旧知识，又引出了新知识，能激发学生的学习兴趣。在教学中，必须要注意发挥本章承上启下的作用，搞好小学数学与初中代数的衔接，使学生有一个良好的开端。
(2)在本节的学习过程中，要使学生理解代数式的概念，首先要给学生多举例子(学生比较熟悉、贴近现实生活的例子)，使学生从感性上认识什么是代数式，理清代数式中的运算和运算顺序，才能正确说出一个代数式所表示的数量关系，从而认识字母表示数的意义——普遍性、简明性，也为列代数式做准备。
(3)条件比较好的学校，教师可选用一些多媒体课件，激发学生的学习兴趣，增强学生自主学习的本事。
(4)教师在讲解第一节之前，必须要对全章资料和课时安排有一个了解，注意前后知识的衔接，仅有这样，我们教师才能教给学生系统的而不是一些零散的知识，久而久之，学生头脑中天然会构成一个完整的知识体系。
(5)因为是新学期代数的第一节课，教师必须要给学生一个好印象，好的开端等于成功了一半。那么，怎样才能给学生留下好印象呢首先，你要尽量在学生面前展示自我的才华。比，英语口语好的教师，能够用英语做一个自我介绍，然后为学生说一段祝福语。第二，上课时尽量使用多种语言与学生交流，其中包含情感语言(眉目语言、手势语言等)，让学生感觉到教师对他的关心。
7、教学重点、难点：
重点：用字母表示数的意义
难点：学会用字母表示数及正确说出一个代数式所表示的数量关系。
教学设计示例
课堂教学过程设计
一、从学生原有的认知结构提出问题
1在小学我们曾学过几种运算律都是什么如可用字母表示它们
(经过启发、归纳最终师生共同得出用字母表示数的五种运算律)
(1)加法交换律a+b=b+a;
(2)乘法交换律a·b=b·a;
(3)加法结合律(a+b)+c=a+(b+c);
(4)乘法结合律(ab)c=a(bc);
(5)乘法分配律a(b+c)=ab+ac
指出：(1)“×”也能够写成“·”号或者省略不写，但数与数之间相乘，一般仍用“×”;
(2)上头各种运算律中，所用到的字母a，b，c都是表示数的字母，它代表我们过去学过的一切数
2(投影)从甲地到乙地的路程是15千米，步行要3小时，骑车要1小时，乘汽车要0.25小时，试问步行、骑车、乘汽车的速度分别是多少
3若用s表示路程，t表示时间，ν表示速度，你能用s与t表示ν吗
4(投影)一个正方形的边长是a厘米，则这个正方形的周长是多少面积是多少
(用I厘米表示周长，则I=4a厘米;用S平方厘米表示面积，则S=a2平方厘米)
此时，教师应指出：(1)用字母表示数能够把数或数的关系，简明的表示出来;(2)在公式与中，用字母表示数也会给运算带来方便;(3)像上头出现的a，5，15÷3，4a，a+b，st以及a2等等都叫代数式.那么究竟什么叫代数式呢代数式的意义又是什么呢这正是本节课我们将要学习的资料.
三、讲授新课
1代数式
单独的一个数字或单独的一个字母以及用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫代数式.学习代数，首先要学习用代数式表示数量关系，明确代数上的意义
2举例说明
例1填空：
(1)每包书有12册，n包书有xxxxxxxxxx册;
(2)温度由t℃下降到2℃后是xxxxxxxxx℃;
(3)棱长是a厘米的正方体的体积是xxxxx立方厘米;
(4)产量由m千克增长10%，就到达xxxxxxx千克
(此例题用投影给出，学生口答完成)
解：(1)12n;(2)(t-2);(3)a3;(4)(1+10%)m
例2说出下列代数式的意义：
解：(1)2a+3的意义是2a与3的和;(2)2(a+3)的意义是2与(a+3)的积;
(5)a2+b2的意义是a，b的平方的和;(6)(a+b)2的意义是a与b的和的平方
说明：(1)本题应由教师示范来完成;
(2)对于代数式的意义，具体说法没有统一规定，以简明而不致引起误会为出发点如第(1)小题也能够说成“a的2倍加上3”或“a的2倍与3的和”等等
例3用代数式表示：
(1)m与n的和除以10的商;
(2)m与5n的差的平方;
(3)x的2倍与y的和;
(4)ν的立方与t的3倍的积
分析：用代数式表示用语言叙述的数量关系要注意：①弄清代数式中括号的使用;②字母与数字做乘积时，习惯上数字要写在字母的前面
四、课堂练习
1填空：(投影)
(1)n箱苹果重p千克，每箱重xxxxx千克;
(2)甲身高a厘米，乙比甲矮b厘米，那么乙的身高为xxxxx厘米;
(3)底为a，高为h的三角形面积是xxxxxx;
(4)全校学生人数是x，其中女生占48%则女生人数是xxxx，男生人数是xxxx
2说出下列代数式的意义：(投影)
3用代数式表示：(投影)
(1)x与y的和;(2)x的平方与y的立方的差;
(3)a的60%与b的2倍的和;(4)a除以2的商与b除3的商的和
五、师生共同小结
首先，提出如下问题：
1本节课学习了哪些资料2用字母表示数的意义是什么
3什么叫代数式
教师在学生回答上述问题的基础上，指出：①代数式实际上就是算式，字母像数字一样也能够进行运算;②在代数式和运算结果中，如有单位时，要正确地使用括号
六、作业
1一个三角形的三条边的长分别的a，b，c，求这个三角形的周长
2张强比王华大3岁，当张强a岁时，王华的年龄是多少
3飞机的速度是汽车的40倍，自行车的速度是汽车的13，若汽车的速度是ν千米时，那么，飞机与自行车的速度各是多少
4a千克大米的售价是6元，1千克大米售多少元
5圆的半径是R厘米，它的面积是多少
6用代数式表示：
(1)长为a，宽为b米的长方形的周长;
(2)宽为b米，长是宽的2倍的长方形的周长;
(3)长是a米，宽是长的13的长方形的周长;
(4)宽为b米，长比宽多2米的长方形的周长
初中数学教学案例（三）：
一、教材分析：
反比例函数的图象与性质是对正比例函数图象与性质的复习和比较，也是以后学习二次函数的基础。本课时的学习是学生对函数的图象与性质一个再知的过程，由于初二学生是首次接触双曲线这种函数图象，所以教学时应注意引导学生抓住反比例函数图象的特征，让学生对反比例函数有一个形象和直观的认识。
二、教学目标分析
根据二期课改“以学生为主体，激活课堂气氛，充分调动起学生参与教学过程”的精神。在教学设计上，我设想经过使用多媒体课件创设情境，在掌握反比例函数有关知识的同时激发学生的学习兴趣和探究欲望，引导学生进取参与和主动探索。所以把教学目标确定为：
1、掌握反比例函数的概念，能够根据已知条件求出反比例函数的解析式；学会用描点法画出反比例函数的图象；掌握图象的特征以及由函数图象得到的函数性质。
2、在教学过程中引导学生自主探索、思考及想象，从而培养学生观察、分析、归纳的综合本事。
3、经过学习培养学生进取参与和勇于探索的精神。
三、教学重点难点分析
本堂课的重点是掌握反比例函数的定义、图象特征以及函数的性质；
难点则是如何抓住特征正确画出反比例函数的图象。
为了突出重点、突破难点。我设计并制作了能动态演示函数图象的多媒体课件。让学生亲手操作，进取参与并主动探索函数性质，帮助学生直观地理解反比例函数的性质。
四、教学方法
鉴于教材特点及初二学生的年龄特点、心理特征和认知水平，设想采用问题教学法和比较教学法，用层层推进的提问启发学生深入思考，主动探究，主动获取知识。同时注意与学生已有知识的联系，减少学生对新概念理解的困难，给学生充分的自主探索时间。经过教师的引导，启发调动学生的进取性，让学生在课堂上多活动、多观察，主动参与到整个教学活动中来，组织学生参与“探究——议论——交流——总结”的学习活动过程，同时在教学中，还充分利用多媒体教学，经过演示，操作，观察，练习等师生的共同活动中启发学生，让每个学生动手、动口、动眼、动脑，培养学生直觉思维本事。
五、学法指导
本堂课立足于学生的“学”，请求学生多动手，多观察，从而能够帮助学生构成分析、比较、归纳的思想方法。在比较和议论中让学生在“做中学”，增高学生利用已学知识去主动获取新知识的本事。所以在课堂上要采用进取引导学生主动参与，合作交流的方法组织教学，使学生真正成为教学的主体，体会参与的乐趣，成功的喜悦，感知数学的奇妙。
六、教学过程
（一）复习引入——反函数解析式
练习1：写出下列各题的关系式：
（1）正方形的周长C和它的一边的长a之间的关系
（2）运动会的田径比赛中，运动员小王的平均速度是8米秒，他所跑过的路程s和所用时间t之间的关系
（3）矩形的面积为10时，它的长x和宽y之间的关系
（4）王师傅要生产100个零件，他的工作效率x和工作时间t之间的关系
问题1：请大家确定一下，在我们写出来的这些关系式中哪些是正比例函数？
问题1主要是复习正比例函数的定义，为后面学生运用比较的方法给出反比例函数的定义打下基础。
问题2：那么请大家再仔细观察一下，其余两个函数关系式有什么共同点吗？
经过问题2来引出反比例函数的解析式，请学生比较正比例函数的定义来给出反比例函数的定义，这不仅仅有助于对旧知识的复习和巩固，同时还能够培养学生的比较和探究本事。
例题1：已知变量y与x成反比例，且当x=2时，y=9
（1）写出y与x之间的函数解析式
（2）当x=3、5时，求y的值
（3）当y=5时，求x的值
经过对例1的学习使学生掌握如何根据已知条件来求出反比例函数的解析式。在解题过程中，引导学生运用在求正比例函数的解析式时用到的“待定系数法”，先设反比例函数为，再把相应的x，y值代入求出k，k值的.确定，函数解析式也就确定了。
课堂练习：已知x与y成反比例，根据以下条件，求出y与x之间的函数关系式
（1）x=2，y=3（2）x=，y=
经过此题，对学生掌握如何根据已知条件去求反比例函数的解析式的学习情景做一个简单的反馈。
（二）探究学习1——函数图象的画法
问题3：如何画出正比例函数的图象？
经过问题3来复习正比例函数图象的画法主要分为列表、描点、连线三个步骤，为学习反比例函数图像的画法打下基础。
问题4：那反比例函数的图象应当怎样去画呢？
在教学过程中能够引导学生仿照正比例函数图象的的画法。
设想的教学设计是：
（1）引导学生运用在画正比例函数图象中所学到的方法，分小组议论尝试，采用列表、描点、连线的方法画出函数和的图象；
（2）教师边巡视，边指导，用实物投影仪反映一些学生在函数图象中出现的典型错误，和学生一齐找出错误的地方，分析原因；
（3）随后教师在黑板上演示画好反比例函数图像的步骤，展示正确的函数图象，引导学生观察其图象特征（双曲线有两个分支）。
初二学生是首次接触到双曲线这种比较特殊函数图象，设想学生可能会在下头几个环节中出错：
（1）在“列表”这一环节
在取点时学生可能会取零，在那里能够引导学生结合代数的方法得出x不能为零。也可能由于在取点时的不恰当，导致函数图象的不完整、不对称。在那里应当要指导学生在列表时，自变量x的取值能够选取绝对值相等而符号相反的数，相应的就得到绝对相等而符号相反的对应的函数值，这样能够简化计算的手续，又便于在坐标平面内找到点。
（2）在“连线”这一环节
学生画的点与点之间连线可能会有端点，未能用光滑的线条连接。因而在那里要异常要强调在将所选取的点连结时，应当是“光滑曲线”，为以后学习二次函数的图像打下基础。为了使函数图象清晰明显，能够引导学生注意尽量选取较多的自变量x的值和对应的函数值y，以便在坐标平面内得到较多的“点”，画出曲线。
从而引导学生画出正确的函数图象。
（3）图象与x轴或y轴相交
在那里我认为能够埋下一个伏笔，给学生留下一个悬念，为后面学习函数的性质打下基础。
需要说明的是：利用多媒体课件学习能吸引学生的注意力，引起学生进一步学习的兴趣。可是，尽管多媒体的演示既快又正确，我认为在学生第学画反比例函数图象的过程中，教师还是应当在黑板上认真示范画出图象的每一个步骤，毕竟多媒体还是不能替代我们平时教师在黑板上板书。
巩固练习：画出函数和的图象
经过巩固练习，让学生再次动手画出函数图象，改正在初次画图象时出此刻一些问题。教师使用函数图象的课件，用屏幕显示的函数图象验证学生画出的函数图象的正确性。
（三）探究学习2——函数图象性质
1、图象的分布情景
问题5：请大家回忆一下正比例函数的分布情景是怎样样的呢？
提出问题5主要是起到巩固复习，为引导学生学习反比例函数图象的分布情景打下基础。
问题6：观察刚才所画的图象我们发觉 反比例函数的图象有两个分支，那么它的分布情景又是怎样样的呢？
在这一环节中的设计：
（1）引导学生比较正比例函数图象的分布，启发他们主动探索反比例函数的分布情景，给学生充分研究的时间；
（2）充分运用多媒体的优势进行教学，使用函数图象的课件试着任意输入几个k的值，观察函数图象的不一样分布，观察函数图象的动态演变过程。把不一样的函数图象集中到一个屏幕中，便于学生比较和探究。学生经过观察及比较，对反比例函数图象的分布与k的关系有一个直观的了解；
（3）组织小组议论来归纳出反比例函数的一条性质：当k>0时，函数图象的两支分别在第一、三象限内；当k<0时，函数图象的两支分别在第二、四象限内。
2、图象的变化情景
问题7：正比例函数图象的变化情景是怎样样的呢？
提出问题7主要是起到巩固复习，为引导学生学习反比例函数图象的变化情景打下基础。
问题8：那反比例函数的图象，是否也具有这样的性质呢？
在这一环节的教学设计是：
（1）回顾反比例函数和的图象，经过实际观察；
（2）根据解析式对行取值，比较x在取不一样值时函数值的变化情景；
（3）电脑演示及学生小组议论，请学生给出结论。即这个问题必须分成两种情景议论即当k>0时，自变量x逐渐增大时，y的值则随着逐渐减小；当k<0时，自变量x逐渐增大时，y的值也随着逐渐增大。
（4）对于学生做出的结论，教师应当要给予肯定，同时能够提出：有没有同学需要补充的呢？若没有，则能够举例：当k>0，分别比较在第三象限x=—2，第一象限x=2时的y的值的大小，则以上性质是否依然成立？学生的回答应当是：不成立。这时教师再请学生做小结：必须限定在每一个象限内，才有以上性质成立。
问题9：当函数图象的两个分支无限延伸时，它与x轴、y轴相交吗？为什么？
在这个环节中，能够结合刚才学生所画的错误图象，引导学生能够经过代数的方法分析反比例函数的解析式，由分母不能为零，得x不能为零。由k≠0，得y必不为零，从而验证了反比例函数的图象。当两个分支无限延伸时，能够无限地逼近x轴、y轴，但永久不会与两轴相交。随即强调画图时要注意正确性。
（四）备用思考题
1、反比例函数的图象在第一、三象限，求a的取值范围
2、当m为何值时，y是x的正比例函数；当m为何值时，y是x的反比例函数
（五）小结：
初中数学教学案例（四）：
教学目标：
(一)知识与技能
理解单项式及单项式系数、次数的概念;能正确迅速地确定一个单项式的系数和次数;会用含字母的式子表示实际问题中的数量关系。
(二)过程与方法
1.在经历用字母表示数量关系的过程中，发展符号感;
2.经过小组议论、合作学习等方式，经历概念的构成过程，培养学生自主探索知识和合作交流本事
(三)情感态度价值观
1.经过丰富多彩的现实情景，让学生经历从具体问题中抽象出数量关系，在处理问题中了解数学的价值，增长“用数学”的信心.
2.经过用含字母的式子描述现实世界中的数量关系，认识到它是处理实际问题的重要数学工具之一。
教学重、难点：
重点：单项式及单项式系数、次数的概念。
难点：单项式次数的概念;单项式的书写格式及注意点。
教学方法：
引导——探究式
在感性材料的基础上，学生自主探究现实情景中用字母表示数的问题，经过观察、分析、比较，找出材料中个体的共同点，教师引导学生共同抽象、概括单项式及有关的概念。
教具准备：
多媒体课件、小黑板。
教学过程：
一、创设情境，引入新课
出示一张奔驰在青藏铁路线上的列车照片，并配上歌曲《天路》，边欣赏边向学生介绍青藏铁路所创造的历史之最。
情境问题：
青藏铁路西线上，在格尔木到拉萨之间有一段很长的冻土地段。列车在冻土地段的行驶速度是100千米时，在非冻土地段的行驶速度能够到达120千米时，请根据这些数据回答：列车在冻土地段行驶时，2小时能行驶多少千米3小时呢t小时呢
设计意图：从学生熟悉的情境出发，创设情境，让学生感觉青藏铁路的伟大成就，激发
爱国主义情感，得到一次情感教育。
解：根据路程、速度、时间之间的关系：路程=速度×时间
2小时行驶的路程是：100×2=200(千米)
3小时行驶的路程是：100×3=300(千米)
t小时行驶的路程是：100×t=100t(千米)
注意：在包含字母的式子中若出现乘号，通常将乘号写作“·”或省略不写。
如：100×a能够写成100a或100a。
代数式：用基本的运算符号(运算包含加、减、乘除、乘方等)把数和表示数的字母连接起来的式子。
代数式能够简明地表示数量和数量的关系，本节我们就来学习最基本也是最重要的一类代数式整式。
设计意图：从学生已有的数学经验：路程=速度×时间出发，建立新旧知识之间的联系
让学生历一个从一般到特殊再到一般的认识过程，发展学生的认知观念。
二、合作交流，探究新知
探究
思考：用含字母的式子填空(独立完成)，并观察列出的式子有什么共同特点(小组可交流议论)。
1、边长为a的正方体的表面积是xx，体积是xx.
2、铅笔的单价是x元，圆珠笔的单价是铅笔的2.5倍，则圆珠笔的单价是xxx元。
3、一辆汽车的速度是v千米∕小时，它t小时行驶的路程为xx千米。
4、数n的相反数是xx。
解：(1)6a2、a3(2)2.5x(3)vt(4)-n
思考：它们有什么共同的特点
6a2=6·a·aa3=a·a·a2.5x=2.5·xvt=v·t-n=-1·n
单项式：数与字母、字母与字母的乘积。
注意：单独的一个数或字母也是单项式。
设计意图：从熟悉的实际背景出发，充分让学生自我观察、自我发觉 、自我描述，进行自主学习和合作交流，获得数学猜想和数学经验，满足学生的表现欲和探究欲，使学生学得简便愉快，充分体现课堂教学的开放性。
火眼金睛
下列各代数式中哪些是单项式哪些不是
(1)a(2)0(3)a2
(4)6a(5)
(6)
(7)3a+2b(8)xy2
设计意图：加强学生对不一样形式的单项式的直观认识。
解剖单项式
系数：单项式中的数字因数。
如：-3x的系数是，-ab的系数是，的系数是。
次数：一个单项式中的所有字母的指数的和。
如：-3x的次数是，ab的次数是。
小试身手
单项式2a2-1.2hxy2-t2-32x2y
系数
次数
设计意图：了解学生对单项式系数、次数的概念是否理解，找出存在的问题，从而进一步巩固概念。
单项式的注意点：
(1)数与字母相乘时，数应写在字母的xxx，且乘号可xxxxxxxxx;
(2)带分数作为系数时，应改写成xxxxxxx的形式;
(3)式子中若出现相除时，应把除号写成xxxx的形式;
(4)把“1”或“-1”作为项的系数时，“1”能够xx不写。
行家看门道
①1x②-1x
③a×3④a÷2
⑤⑥m的系数为1，次数为0
⑦的系数为2，次数为2
设计意图：单项式的书写和表示有其特有的格式和注意点，经过以上两个题目让学生进一步明确注意点。
三、例题讲解，巩固新知
例1：用单项式填空，并指出它们的系数和次数：
(1)每包书有12册，n包书有册;
(2)底边长为a，高为h的三角形的面积;
(3)一个长方体的长和宽都是a，高是h，它的体积是;
(4)一台电视机原价a元，现按原价的9折出售，这台电视机此刻的售价
为元;
(5)一个长方形的长0.9，宽是a，这个长方形的面积是.
解：(1)12n，它的系数是12，次数是1
(2)，它的系数是，次数是2;
(3)a2h，它的系数是1，次数是3;
(4)0.9a，它的系数是0.9，次数是1;
(5)0.9a，它的系数是0.9，次数是1。
设计意图：学生能用单项式表示简单的实际问题中的数量关系，并进一步巩固单项式的系数、次数的概念。
试一试
你还能赋予0.9a一个含义吗
设计意图：同一个式子能够表示不一样的含义，经过这个例子让学生进一步体会式子更具有一般性，并且发散学生思维。
大胆尝试
写出一个单项式，使它的系数是2，次数是3.
设计意图：充分发挥学生的想象力，让每一个学生都有获得成功的体验，为不一样程度的学生一个展示自我的机遇，激发他们的学习兴趣。
四、拓展增高
尝试应用
用单项式填空，并指出它们的系数和次数：
(1)全校学生总数是x，其中女生占总数48%，则女生人数是，男生人数是;
(2)一辆长途汽车从杨柳村出发，3小时后到达相距s千米的溪河镇，这辆长途汽车的平均速度是;
(3)产量由m千克增长10%，就到达千克;
设计意图：让学生感觉单项式在实际生活中的应用，进一步掌握单项式及单项式系数、次数的概念。
本事提升
1、已知-xay是关于x、y的三次单项式，那么a=，b=.
2、若-ax2yb+1是关于x、y的五次单项式，且系数为-3，则a=，b=.
设计意图：照顾学有余力的学生，拓展学生思维，让学生体会跳一跳、摘桃子的乐趣。
五、小结：
本节课你感觉到了吗
生活中处处有数学
本节课我们学了什么你能说说你的收获吗
1、单项式的概念：数与字母、字母与字母的乘积。
2、单项式的系数、次数的概念。
系数：单项中的数字因数;
次数：单项中所有字母的指数和。
3、会用单项式表示实际问题中的数量关系，注意列式时式子要规范书写。
设计意图：经过回顾和反思，让学生看到自我的增高，激励学生，使学生相信自我在今后的学习中不断增高，不断积累数学活动经验，促进学生构成良好的心理品质。
结束寄语
悟性的高低取决于有无悟“心”，其实，人与人的差别就在于你是否去思考，去发觉 !
设计意图：这是对学生的激励也是对学生的一种期盼，能够增进师生间的情感交流。
六、板书设计
2.1整式
单项式概念探究例1多
单项式的系数概念观察交流尝试应用媒
单项式的次数概念本事提升体
七、作业：
1.作业本(必做)。
2.请下头设计一个故事情境，请求其中包含的数量关系能够用单项式表示，并且指出它们的系数和次数(选做)。
设计意图：布置分层作业，既让学生掌握基础知识，又使学有余力的学生有所增高。让学生自行编题是一种创造性的思维活动，它能够改变一味由教师出题的形式，活跃学生思维，使学生能够透彻理解知识，同时培养同学之间的竞争意识。
八、设计理念：
本节课是研究整式的起始课，它是进一步学习多项式的基础，所以对单项式有关概念的理解和掌握情景，将直接影响到后续学习。为突出重点，突破难点，教学中要加强直观性，即为学生供给足够的感知材料，丰富学生的感性认识，帮助学生认识概念，同时也要注重分析，亦即在剖析单项式结构时，借助反例练习，抓住概念易混淆处和确定易出错处，强化认识，帮助学生理解单项式系数、次数，为进一步学习新知做好铺垫。
针对七年级学生学习热情高，但观察、分析、认识问题本事较弱的特点，教学时将供给很多感性材料，以启发引导为主，同时辅之以议论、练习、合作交流等学习活动，到达掌握知识的目的，并逐步培养起学生观察、分析、抽象、概括的本事，同时注重培养学生由感性认识上升到理性认识，为进一步学习同类项打下坚实的基础。
初中数学教学案例（五）：
一、教材分析
（一）教材地位
这节课是九年制义务教育初级中学教材北师大版七年级第二章第一节《探索勾股定理》第一课时，勾股定理是几何中几个重要定理之一，它揭示的是直角三角形中三边的数量关系。它在数学的发展中起过重要的作用，在现时世界中也有着广泛的作用。学生经过对勾股定理的学习，能够在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。
（二）教学目标
知识与本事：掌握勾股定理，并能运用勾股定理处理一些简单实际问题。
过程与方法：经历探索及验证勾股定理的过程，了解利用拼图验证勾股定理的方法，发展学生的合情推理意识、主动探究的习惯，感觉数形结合和从特殊到一般的思想。
情感态度与价值观：激发学生爱国热情，让学生体验自我奋力得到结论的成就感，体验数学充满探索和创造，体验数学的美感，从而了解数学，喜欢数学。
（三）教学重点：经历探索及验证勾股定理的过程，并能用它来处理一些简单的实际问题。
教学难点：用面积法（拼图法）发觉 勾股定理。
突出重点、突破难点的办法：发挥学生的主体作用，经过学生动手实验，让学生在实验中探索、在探索中领悟、在领悟中理解。
二、教法与学法分析：
学情分析：七年级学生现已具备必须的观察、归纳、猜想和推理的本事。他们在小学已学习了一些几何图形的面积计算方法（包含割补、拼接），但运用面积法和割补思想来处理问题的意识和本事还不够。另外，学生普遍学习进取性较高，课堂活动参与较主动，但合作交流的本事还有待加强。
教法分析：结合七年级学生和本节教材的特点，在教学中采用“问题情境————建立模型————解释应用———拓展巩固”的模式，选择引导探索法。把教学过程转化为学生亲身观察，大胆猜想，自主探究，合作交流，归纳总结的过程。
学法分析：在教师的组织引导下，学生采用自主探究合作交流的研讨式学习方式，使学生真正成为学习的主人。
三、教学过程设计
1、创设情境，提出问题
2、实验操作，模型构建
3、回归生活，应用新知
4、知识拓展，巩固深化
5、感悟收获，布置作业
（一）创设情境提出问题
（1）欣赏勾股定理数形图1955年希腊发行美丽的勾股树20xx年国际数学的一枚纪念邮票大会会标设计意图：经过图形欣赏，感觉数学美，感觉勾股定理的文化价值。
（2）某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了解到每层楼高3米，消防队员取来6.5米长的云梯，如果梯子的底部离墙基的距离是2、5米，请问消防队员能否进入三楼灭火？
设计意图：以实际问题为切入点引入新课，反映了数学来源于实际生活，产生于人的需要，也体现了知识的发生过程，处理问题的过程也是一个“数学化”的过程，从而引出下头的环节。
（二）实验操作模型构建
1、等腰直角三角形（数格子）
2、一般直角三角形（割补）
问题一：对于等腰直角三角形，正方形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积有何关系？
设计意图：这样做利于学生参与探索，利于培养学生的语言表达本事，体会数形结合的思想。
问题二：对于一般的直角三角形，正方形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积也有这个关系吗？（割补法是本节的难点，组织学生合作交流）
设计意图：不仅仅有利于突破难点，并且为归纳结论打下基础，让学生的分析问题处理问题的本事在无形中得到增高。
经过以上实验归纳总结勾股定理。
设计意图：学生经过合作交流，归纳出勾股定理的雏形，培养学生抽象、概括的本事，同时发挥了学生的主体作用，体验了从特殊——一般的认知规律。
（三）回归生活应用新知
让学生处理开头情景中的问题，前呼后应，增强学生学数学、用数学的意识，增加学以致用的乐趣和信心。
四、知识拓展巩固深化
基础题，情境题，探索题。
设计意图：给出一组题目，分三个梯度，由浅入深层层练习，照顾学生的个体差异，关注学生的个性发展。知识的运用得到升华。
基础题：直角三角形的一向角边长为3，斜边为5，另一向角边长为X，你能够根据条件提出多少个数学问题？你能处理所提出的问题吗？
设计意图：这道题立足于双基。经过学生自我创设情境，锻炼了发散思维。
情境题：小明母亲买了一部29英寸（74厘米）的电视机。小明量了电视机的屏幕后，发觉 屏幕仅有58厘米长和46厘米宽，他觉得必须是售货员搞错了。你同意他的想法吗？
设计意图：增加学生的生活常识，也体现了数学源于生活，并用于生活。
探索题：做一个长，宽，高分别为50厘米，40厘米，30厘米的木箱，一根长为70厘米的木棒能否放入，为什么？试用今日学过的知识说明。
设计意图：探索题的难度相对大了些，但教师利用教学模型和学生合作交流的方式，拓展学生的思维、发展空间想象本事。
五、感悟收获布置作业：
这节课你的收获是什么？
作业：
1、课本习题
2、12、搜集有关勾股定理证明的资料。
六、板书设计：探索勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么
七、设计说明：
1、探索定理采用面积法，为学生创设一个和谐、宽松的情境，让学生体会数形结合及从特殊到一般的思想方法。
2、让学生人人参与，注重对学生活动的评价，一是学生在活动中的投入程度；二是学生在活动中表现出来的思维水平、表达水平。
初中数学教学案例（六）：
教学目的
1、使学生了解无理数和实数的概念，掌握实数的分类，会正确确定一个数是有理数还是无理数。
2、使学生能了解实数绝对值的意义。
3、使学生能了解数轴上的点具有一一对应关系。
4、由实数的分类，渗透数学分类的思想。
5、由实数与数轴的一一对应，渗透数形结合的思想。
教学分析
重点：无理数及实数的概念。
难点：有理数与无理数的'区别，点与数的一一对应。
教学过程
一、复习
1、什么叫有理数？
2、有理数能够如何分类？
（按定义分与按大小分。）
二、新授
1、无理数定义：无限不循环小数叫做无理数。
确定：无限小数都是无理数；无理数都是无限小数；带根号的数都是无理数。
2、实数的定义：有理数与无理数统称为实数。
3、按课本中列表，将各数间的联系介绍一下。
除了按定义还能按大小写出列表。
4、实数的相反数：
5、实数的绝对值：
6、实数的运算
讲解例1，加上（3）若|x|=π（4）若|x-1|=，那么x的值是多少？
例2，确定题：
（1）任何实数的偶次幂是正实数。（）
（2）在实数范围内，若|x|=|y|则x=y。（）
（3）0是最小的实数。（）
（4）0是绝对值最小的实数。（）
解：略
三、练习
P148练习：3、4、5、6。
四、小结
1、今日我们学习了实数，请同学们首先要清楚，实数是如何定义的，它与有理数是怎样的关系，二是对实数两种不一样的分类要清楚。
2、要对应有理数的相反数与绝对值定义及运算律和运算性质，来理解在实数中的运用。
五、作业
1、P150习题Ａ：３。
2、基础训练：同步练习1。
初中数学教学案例（七）：
一、教材分析：
勾股定理是学生在现已掌握了直角三角形的有关性质的基础上进行学习的，它是直角三角形的一条十分重要的性质，是几何中最重要的定理之一，它揭示了一个三角形三条边之间的数量关系，它能够处理直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要根据之一，在实际生活中用途很大。
教材在编写时注意培养学生的动手操作本事和分析问题的本事，经过实际分析、拼图等活动，使学生获得较为直观的印象；经过联系和比较，理解勾股定理，以利于正确的进行运用。
据此，制定教学目标如下：
1、理解并掌握勾股定理及其证明。
2、能够灵活地运用勾股定理及其计算。
3、培养学生观察、比较、分析、推理的本事。
4、经过介绍中国古代勾股方面的成就，激发学生热爱祖国与热爱祖国悠久文化的思想感情，培养他们的民族自豪感和钻研精神。
二、教学重点：
勾股定理的证明和应用。
三、教学难点：
勾股定理的证明。
四、教法和学法：
教法和学法是体此刻整个教学过程中的，本课的教法和学法体现如下特点：
以自学辅导为主，充分发挥教师的主导作用，运用各种手段激发学生学习欲望和兴趣，组织学生活动，让学生主动参与学习全过程。切实体现学生的主体地位，让学生经过观察、分析、议论、操作、归纳，理解定理，增高学生动手操作本事，以及分析问题和处理问题的本事。经过演示实物，引导学生观察、操作、分析、证明，使学生得到获得新知的成功感觉，从而激发学生钻研新知的欲望。
五、教学程序：
本节资料的教学主要体此刻学生动手、动脑方面，根据学生的'认知规律和学习心理，教学程序设计如下：
（一）创设情境以古引新
1、由故事引入，3000多年前有个叫商高的人对周公说，把一根直尺折成直角，两端连接得到一个直角三角形，如果勾是3，股是4，那么弦等于5。这样引起学生学习兴趣，激发学生求知欲。
2、是不是所有的直角三角形都有这个性质呢？教师要善于激疑，使学生进入乐学状态。
3、板书课题，出示学习目标。
（二）初步感知理解教材
教师指导学生自学教材，经过自学感悟理解新知，体现了学生的自主学习意识，锻炼学生主动探究知识，养成良好的自学习惯。
（三）质疑解难议论归纳：
1、教师设疑或学生提疑。如：怎样证明勾股定理？学生经过自学，中等以上的学生基本掌握，这时能激发学生的表现欲。
2、教师引导学生按照请求进行拼图，观察并分析；
（1）这两个图形有什么特点？
（2）你能写出这两个图形的面积吗？
（3）如何运用勾股定理？是否还有其他形式？
这时教师组织学生分组议论，调动全体学生的进取性，到达人人参与的效果，之后全班交流。先有某一组代表发言，说明本组对问题的理解程度，其他各组作评价和补充。教师及时进行富有启发性的点拨，最终，师生共同归纳，构成一致意见，最终处理疑难。
（四）巩固练习强化增高
1、出示练习，学生分组解答，并由学生总结解题规律。课堂教学中动静结合，以免引起学生的疲劳。
2、出示例1学生试解，师生共同评价，以加深对例题的理解与运用。针对例题再次出现巩固练习，进一步增高学生运用知识的本事，对练习中出现的情景可采取互评、互议的形式，在互评互议中出现的具有代表性的问题，教师能够采取全班议论的形式予以处理，以此突出教学重点。
（五）归纳总结练习反馈
引导学生对知识要点进行总结，梳理学习思路。分发自我反馈练习，学生独立完成。
本课意在创设愉悦和谐的乐学气氛，优化教学手段，借助多媒体增高课堂教学效率，建立平等、民主、和谐的师生关系。加强师生间的合作，营造一种学生敢想、感说、感问的课堂气氛，让全体学生都能生动活泼、进取主动地教学活动，在学习中创新精神和实践本事得到培养。
初中数学教学案例（八）：
教学资料：
在学生初步了解，年月日、季度的概念后，寻找历法与扑克之间的关系。
教学目标：
1、经过对"扑克"趣味的研究，培养起学生对生活中平常小事的关注。
2、调动学生丰富的联想，养成一种思考的习惯。
教学重难点：
"扑克"与年月日、季度的联系。
教学过程：
一、谈话引入
师：同学们，这个你们必须见过吧！这是我们生活中比较常见的"扑克"。谁愿意告诉我们，你对扑克的了解呢？
生：......
（教师补充，引发学生的好奇心。）
师："扑克"还有一种作用，并且与数学有关！
生：......
二、新课
1、桃、心、梅、方4种花色能够代表一年四季春、夏、秋、冬
2、大王=阳光小王=月亮红=白天黑=夜晚
3、A=12=23=34=45=56=67=78=89=910=10J=11Q=12K=13大王=1小王=1
4、所有牌的和+小王=平年的天数
所有牌的和+小王+大王=闰年的天数
5、扑克中的K、Q、J共有12张，3×4=12，表示一年有12个月
6、365÷7≈52一年有52个星期。54张牌中除去大王、小王有52张是正牌，表示一年有52个星期。
7、一种花色的'和=一个季度的天数
一种花色有13张牌=一个季度有13个星期
三、小结
生活中有很多的数学，他每时每刻都在我们的身边出现，只是我们大家没有注意到。请大家都要学会留心观察，做生活的有心人。
初中数学教学案例（九）：
一、教学目标
1、了解二次根式的意义；
2、掌握用简单的一元一次不等式处理二次根式中字母的取值问题；
3、掌握二次根式的性质和，并能灵活应用；
4、经过二次根式的计算培养学生的逻辑思维本事；
5、经过二次根式性质和的介绍渗透对称性、规律性的数学美。
二、教学重点和难点
重点：
（1）二次根的意义；
（2）二次根式中字母的取值范围。
难点：确定二次根式中字母的取值范围。
三、教学方法
启发式、讲练结合。
四、教学过程
（一）复习提问
1、什么叫平方根、算术平方根？
2、说出下列各式的意义，并计算
（二）引入新课
新课：二次根式
定义：式子叫做二次根式。
对于请同学们议论论应注意的问题，引导学生总结：
（1）式子仅有在条件a≥0时才叫二次根式，是二次根式吗？呢？
若根式中包含字母必须保证根号下式子大于等于零，所以字母范围的限制也是根式的一部分。
（2）是二次根式，而，提问学生：2是二次根式吗？显然不是，所以二次
根式指的是某种式子的.“外在形态”。请学生举出几个二次根式的例子，并说明为什么是二次根式。下头例题根据二次根式定义，由学生分析、回答。
例1当a为实数时，下列各式中哪些是二次根式？
例2x是怎样的实数时，式子在实数范围有意义？
解：略。
说明：这个问题实质上是在x是什么数时，x—3是非负数，式子有意义。
例3当字母取何值时，下列各式为二次根式：
分析：由二次根式的定义，被开方数必须是非负数，把问题转化为解不等式。
解：（1）∵a、b为任意实数时，都有a2+b2≥0，∴当a、b为任意实数时，是二次根式。
（2）—3x≥0，x≤0，即x≤0时，是二次根式。
（3），且x≠0，∴x>0，当x>0时，是二次根式。
（4），即，故x—2≥0且x—2≠0，∴x>2。当x>2时，是二次根式。
例4下列各式是二次根式，求式子中的字母所满足的条件：
分析：这个例题根据二次根式定义，让学生分析式子中字母应满足的条件，进一步巩固二次根式的定义，。即：仅有在条件a≥0时才叫二次根式，本题已知各式都为二次根式，故请求各式中的被开方数都大于等于零。
解：（1）由2a+3≥0，得。
（2）由，得3a—1>0，解得。
（3）由于x取任何实数时都有|x|≥0，所以，|x|+0。1>0，于是，式子是二次根式。所以所求字母x的取值范围是全体实数。
（4）由—b2≥0得b2≤0，仅有当b=0时，才有b2=0，所以，字母b所满足的条件是：b=0。
初中数学教学案例（十）：
教学目标：
利用数形结合的数学思想分析问题处理问题。
利用已有二次函数的知识经验，自主进行探究和合作学习，处理情境中的数学问题，初步构成数学建模本事，处理一些简单的实际问题。
在探索中体验数学来源于生活并运用于生活，感悟二次函数中数形结合的美，激发学生学习数学的兴趣，经过合作学习获得成功，树立自信心。
教学重点和难点：
运用数形结合的思想方法进行解二次函数，这是重点也是难点。
教学过程：
（一）引入：
分组复习旧知。
探索：从二次函数y=x2+4x+3在直角坐标系中的图象中，你能得到哪些消息？
可引导学生从几个方面进行议论：
（1）如何画图
（2）顶点、图象与坐标轴的交点
（3）所构成的三角形以及四边形的面积
（4）对称轴
从上头的问题导入今日的课题二次函数中的图象与性质。
（二）新授：
1、再探索：二次函数y=x2+4x+3图象上找一点，使构成的图形面积与已知图形面积有数量关系。例如：抛物线y=x2+4x+3的顶点为点A，且与x轴交于点B、C；在抛物线上求一点E使SBCE=SABC。
再探索：在抛物线y=x2+4x+3上找一点F，使BCE与BCD全等。
再探索：在抛物线y=x2+4x+3上找一点M，使BOM与ABC相似。
2、让同学议论：从已知条件如何求二次函数的解析式。
例如：已知一抛物线的顶点坐标是C（2，1）且与x轴交于点A、点B，已知SABC=3，求抛物线的解析式。
（三）增高练习
根据我们学校人人皆知的船模特色项目设计了这样一个情境：
让班级中的上科院小院士来简要介绍学校船模组的情景以及在绘制船模图纸时也常用到抛物线的知识的情景，再出题：船身的龙骨是近似抛物线型，船身的最大长度为48cm，且高度为12cm。求此船龙骨的抛物线的解析式。
让学生在练习中体会二次函数的图象与性质在解题中的作用。
（四）让学生议论小结
（五）作业布置
1、在直角坐标平面内，点O为坐标原点，二次函数y=x2+（k—5）x—（k+4）的图象交x轴于点A（x1，0）B（x2，0）且（x1+1）（x2+1）=—8。
（1）求二次函数的解析式；
（2）将上述二次函数图象沿x轴向右平移2个单位，设平移后的图象与y轴的交点为C，顶点为P，求POC的面积。
2、如图，一个二次函数的图象与直线y=x—1的交点A、B分别在x、y轴上，点C在二次函数图象上，且CBAB，CB=AB，求这个二次函数的解析式。
3、卢浦大桥拱形能够近似看作抛物线的一部分，在大桥截面1：11000的比例图上，跨度AB=5cm，拱高OC=0。9cm，线段DE表示大桥拱内桥长，DE∥AB，如图1，在比例图上，以直线AB为x轴，抛物线的对称轴为y轴，以1cm作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图2。
（1）求出图2上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；
（2）如果DE与AB的距离OM=0。45cm，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：，计算结果精确到1米）
初中数学教学案例（十一）：
一、教材分析
本节课是人民教育出版社义务教育课程标准实验教科书（六三学制）七年级下册第七章第三节多边形内角和。
二、教学目标
1、知识目标：了解多边形内角和公式。
2、数学思考：经过把多边形转化成三角形体会转化思想在几何中的运用，同时让学生体会从特殊到一般的认识问题的方法。
3、处理问题：经过探索多边形内角和公式，尝试从不一样角度寻求处理问题的方法并能有效地处理问题。
4、情感态度目标：经过猜想、推理活动感觉数学活动充满着探索以及数学结论的确定性，增高学生学习热情。
三、教学重、难点
重点：探索多边形内角和。
难点：探索多边形内角和时，如何把多边形转化成三角形。
四、教学方法：
引导发觉 法、议论法
五、教具、学具
教具：多媒体课件
学具：三角板、量角器
六、教学媒体：
大屏幕、实物投影
七、教学过程：
（一）创设情境，设疑激思
师：大家都明白三角形的内角和是180，那么四边形的内角和，你明白吗？
活动一：探究四边形内角和。
在独立探索的基础上，学生分组交流与研讨，并汇总处理问题的方法。
方法一：用量角器量出四个角的度数，然后把四个角加起来，发觉 内角和是360。
方法二：把两个三角形纸板拼在一齐构成四边形，发觉 两个三角形内角和相加是360。
接下来，教师在方法二的基础上引导学生利用作辅助线的方法，连结四边形的对角线，把一个四边形转化成两个三角形。
师：你明白五边形的内角和吗？六边形呢？十边形呢？你是怎样得到的？
活动二：探究五边形、六边形、十边形的内角和。
学生先独立思考每个问题再分组议论。
关注：
（1）学生能否类比四边形的方式处理问题得出正确的结论。
（2）学生能否采用不一样的方法。
学生分组议论后进行交流（五边形的内角和）
方法1：把五边形分成三个三角形，3个180的和是540。
方法2：从五边形内部一点出发，把五边形分成五个三角形，然后用5个180的和减去一个周角360。结果得540。
方法3：从五边形一边上任意一点出发把五边形分成四个三角形，然后用4个180的和减去一个平角180，结果得540。
方法4：把五边形分成一个三角形和一个四边形，然后用180加上360，结果得540。
师：你真聪明！做到了学以致用。
交流后，学生运用几何画板演示并验证得到的方法。
得到五边形的内角和之后，同学们又认真地议论起六边形、十边形的内角和。类比四边形、五边形的议论方法最终得出，六边形内角和是720，十边形内角和是1440。
（二）引申思考，培养创新
师：经过前面的议论，你能明白多边形内角和吗？
活动三：探究任意多边形的内角和公式。
思考：
（1）多边形内角和与三角形内角和的关系？
（2）多边形的边数与内角和的关系？
（3）从多边形一个顶点引的对角线分三角形的个数与多边形边数的关系？
学生结合思考题进行议论，并把议论后的结果进行交流。
发觉 1：四边形内角和是2个180的和，五边形内角和是3个180的和，六边形内角和是4个180的和，十边形内角和是8个180的和。发觉 2：多边形的边数增加1，内角和增加180。
发觉 3：一个n边形从一个顶点引出的对角线分三角形的个数与边数n存在（n-2）的关系。
得出结论：多边形内角和公式：（n-2）·180。
（三）实际应用，优势互补
1、口答：（1）七边形内角和（）
（2）九边形内角和（）
（3）十边形内角和（）
2、抢答：（1）一个多边形的内角和等于1260，它是几边形？
（2）一个多边形的内角和是1440，且每个内角都相等，则每个内角的度数是（）。
3、议论回答：一个多边形的内角和比四边形的内角和多540，并且这个多边形的各个内角都相等，这个多边形每个内角等于多少度？
（四）概括存储
学生自我归纳总结：
1、多边形内角和公式
2、运用转化思想处理数学问题
3、用数形结合的思想处理问题
（五）作业：练习册第93页1、2、3
八、教学反思：
1、教的转变
本节课教师的'主角从知识的传授者转变为学生学习的组织者、引导者、合作者与共同研究者，在引导学生画图、测量发觉 结论后，利用几何画板直观地展示，激发学生自觉探究数学问题，体验发觉 的乐趣。
2、学的转变
学生的主角从学会转变为会学。本节课学生不是停留在学会课本知识层面，而是站在研究者的角度深入其境。
3、课堂氛围的转变
整节课以“流畅、开放、合作、隐导”为基本特征，教师对学生的思维减少干预，教学过程呈现一种比较流畅的特征。整节课学生与学生，学生与教师之间以“对话”、“议论”为出发点，以互助合作为手段，以处理问题为目的，让学生在一个比较宽松的环境中自主选择获得成功的方向，确定发觉 的价值。
初中数学教学案例（十二）：
一、教学目标
1.使学生初步掌握一元一次方程解简单应用题的方法和步骤；并会列出一元一次方程解简单的应用题；
2.培养学生观察本事，增高他们分析问题和处理问题的本事；
3.使学生初步养成正确思考问题的良好习惯。
二、教学重点和难点
一元一次方程解简单的应用题的方法和步骤。
三、课堂教学过程设计
（一）从学生原有的认知结构提出问题
在小学算术中，我们学习了用算术方法处理实际问题的有关知识，那么，一个实际问题能否应用一元一次方程来处理呢？若能处理，怎样解？用一元一次方程解应用题与用算术方法解应用题相比较，它有什么优越性呢？
为了回答上述这几个问题，我们来看下头这个例题。
例1某数的3倍减2等于某数与4的和，求某数。
（首先，用算术方法解，由学生回答，教师板书）
解法1：（4+2）÷（3-1）=3。
答：某数为3。
（其次，用代数方法来解，教师引导，学生口述完成）
解法2：设某数为x，则有3x-2=x+4。
解之，得x=3。
答：某数为3。
纵观例1的这两种解法，很明显，算术方法不易思考，而应用设未知数，列出方程并经过解方程求得应用题的解的方法，有一种化难为易之感，这就是我们学习运用一元一次方程解应用题的目的之一。
我们明白方程是一个包含未知数的等式，而等式表示了一个相等关系。所以对于任何一个应用题中供给的条件，应首先从中找出一个相等关系，然后再将这个相等关系表示成方程。
本节课，我们就经过实例来说明怎样寻找一个相等的关系和把这个相等关系转化为方程的.方法和步骤。
（二）师生共同分析、研究一元一次方程解简单应用题的方法和步骤
例2某面粉仓库存放的面粉运出15%后，还剩余42500千克，这个仓库原先有多少面粉？
师生共同分析：
1.本题中给出的已知量和未知量各是什么？
2.已知量与未知量之间存在着怎样的相等关系？（原先重量-运出重量=剩余重量）
3.若设原先面粉有x千克，则运出面粉可表示为多少千克？利用上述相等关系，如何布列方程？
上述分析过程可列表如下：
解：设原先有x千克面粉，那么运出了15%x千克，由题意，得
x-15%x=42500，所以x=50000。
答：原先有50000千克面粉。
此时，让学生议论：本题的相等关系除了上述表达形式以外，是否还有其他表达形式？若有，是什么？
（还有，原先重量=运出重量+剩余重量；原先重量-剩余重量=运出重量）
教师应指出：
（1）这两种相等关系的表达形式与“原先重量-运出重量=剩余重量”，虽形式上不一样，但实质是一样的，能够任意选择其中的一个相等关系来列方程；
（2）例2的解方程过程较为简捷，同学应注意模仿。
依据例2的分析与解答过程，首先请同学们思考列一元一次方程解应用题的方法和步骤；然后，采取提问的方式，进行反馈；最终，根据学生总结的情景，教师总结如下：
（1）仔细审题，透彻理解题意。即弄清已知量、未知量及其相互关系，并用字母（如x）表示题中的一个合理未知数；
（2）根据题意找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系。（这是关键一步）；
（3）根据相等关系，正确列出方程.即所列的方程应满足两边的量要相等；方程两边的代数式的单位要相同；题中条件应充分利用，不能漏也不能将一个条件重复利用等；
（4）求出所列方程的解；
（5）检验后明确地、完整地写出答案.那里请求的检验应是，检验所求出的解既能使方程成立，又能使应用题有意义。
例3（投影）初一2班第一小组同学去苹果园参加劳动，休息时工人师傅摘苹果分给同学，若每人3个还剩余9个；若每人5个还有一个人分4个，试问第一小组有多少学生，共摘了多少个苹果？
（仿照例2的分析方法分析本题，如学生在某处感到困难，教师应做适当点拨.解答过程请一名学生板演，教师巡视，及时纠正学生在书写本题时可能出现的各种错误。并严格规范书写格式。）
解：设第一小组有x个学生，依题意，得
3x+9=5x-（5-4），解这个方程：2x=10，所以x=5。
其苹果数为3×5+9=24。
答：第一小组有5名同学，共摘苹果24个。
学生板演后，引导学生探讨此题是否可有其他解法，并列出方程。
（设第一小组共摘了x个苹果，则依题意，得）
（三）课堂练习
1.买4本练习本与3支铅笔一共用了1.24元，已知铅笔每支0.12元，问练习本每本多少元？
2.我国城乡居民1988年末的储蓄存款到达3802亿元，比1978年末的储蓄存款的18倍还多4亿元。求1978年末的储蓄存款。
3.某工厂女工人占全厂总人数的35%，男工比女工多252人，求全厂总人数。
（四）师生共同小结
首先，让学生回答如下问题：
1.本节课学习了哪些资料？
2.列一元一次方程解应用题的方法和步骤是什么？
3.在运用上述方法和步骤时应注意什么？
依据学生的回答情景，教师总结如下：
（1）代数方法的基本步骤是：全面掌握题意；恰当选择变数；找出相等关系；布列方程求解；检验书写答案.其中第三步是关键；
（2）以上步骤同学应在理解的基础上记忆。
（五）作业
1.买3千克苹果，付出10元，找回3角4分。问每千克苹果多少钱？
2.用76厘米长的铁丝做一个长方形的教具，要使宽是16厘米，那么长是多少厘米？
3.某厂去年10月份生产电视机2050台，这比前年10月产量的2倍还多150台。这家工厂前年10月生产电视机多少台？
4.大箱子装有洗衣粉36千克，把大箱子里的洗衣粉分装在4个同样大小的小箱里，装满后还剩余2千克洗衣粉.求每个小箱子里装有洗衣粉多少千克？
5.把1400奖金分给22名得奖者，一等奖每人200元，二等奖每人50元。求得到一等奖与二等奖的人数。
初中数学教学案例（十三）：
教学目标：
（1）能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。
（2）注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习习惯
重点难点：
能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。
教学过程：
一、试一试
1.设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为xm，先取x的一些值，算出矩形的另一边BC的长，进而得出矩形的面积ym2.试将计算结果填写在下表的空格中，2.x的值是否能够任意取有限定范围吗
3.我们发觉 ，当AB的长(x)确定后，矩形的面积(y)也随之确定，y是x的函数，试写出这个函数的关系式，对于1、可让学生根据表中给出的AB的长，填出相应的BC的长和面积，然后引导学生观察表格中数据的变化情景，提出问题：
(1)从所填表格中，你能发觉 什么？
(2)对前面提出的问题的解答能作出什么猜想
让学生思考、交流、发表意见，达成共识：当AB的长为5cm，BC的长为10m时，围成的矩形面积最大；最大面积为50m2。
对于2，可让学生分组议论、交流，然后各组派代表发表意见。构成共识，x的.值不能够任意取，有限定范围，其范围是0＜x＜10。
对于3，教师可提出问题
(1)当AB=xm时，BC长等于多少m
(2)面积y等于多少并指出y=x(20－2x)(0＜x＜10)就是所求的函数关系式.
二、提出问题
某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件.该店想经过降低售价、增加销售量的办法来增高利润，经过市场调查，发觉 这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大在这个问题中，可提出如下问题供学生思考并回答：
1.商品的利润与售价、进价以及销售量之间有什么关系
[利润=(售价－进价)×销售量]
2.如果不降低售价，该商品每件利润是多少元一天总的利润是多少元
[10－8=2(元)，(10－8)×100=200(元)]
3.若每件商品降价x元，则每件商品的利润是多少元一天可销
售约多少件商品
[(10－8－x)；(100＋100x)]
4.x的值是否能够任意取如果不能任意取，请求出它的范围，[x的值不能任意取，其范围是0≤x≤2]
5.若设该商品每一天的利润为y元，求y与x的函数关系式。
[y=(10－8－x)(100＋100x)(0≤x≤2)]
将函数关系式y=x(20－2x)(0＜x＜10＝化为：
y=－2x2＋20x(0＜x＜10)……………………………(1)将函数关系式y=(10－8－x)(100＋100x)(0≤x≤2)化为：y=－100x2＋100x＋20D(0≤x≤2)……………………(2)
三、观察；概括
1.教师引导学生观察函数关系式(1)和(2)，提出以下问题让学生思考回答；
(1)函数关系式(1)和(2)的自变量各有几个
(各有1个)
(2)多项式－2x2＋20和－100x2＋100x＋200分别是几次多项式(分别是二次多项式)
(3)函数关系式(1)和(2)有什么共同特点
(都是用自变量的二次多项式来表示的)
(4)本章导图中的问题以及P1页的问题2有什么共同特点？让学生议论、交流，发表意见，归结为：自变量x为何值时，函数y取得最大值。
2.二次函数定义：形如y=ax2＋bx＋c(a、b、、c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数，a叫做二次函数的系数，b叫做一次项的系数，c叫作常数项.
四、课堂练习
1.(口答)下列函数中，哪些是二次函数
(1)y=5x＋1(2)y=4x2－1
(3)y=2x3－3x2(4)y=5x4－3x＋1
2.P3练习第1，2题。
五、小结
1.请叙述二次函数的定义.
2，许多实际问题能够转化为二次函数来处理，请你联系生活实际，编一道二次函数应用题，并写出函数关系式。
六、作业：略
初中数学教学案例（十四）：
一学期的工作结束了，能够说紧张忙碌却收获多多。回顾这学期的工作，我教九（4）班的数学，我总是在不断地摸索和学习中进行教学，工作中有收获和欢乐，也有不尽如人意的地方，为了更好地总结经验，吸取教训，使以后的工作能够有效、有序地进行，现将教学所得总结如下：
一、在备课方面
在上课前我总是查阅很多教参、教辅，力求深入理解教材，正确把握难重点，总是要经过深思熟虑之后才写教案，力争做到熟知知识要点，心中有数。
二、在教学过程方面
在课堂教学中我一向注重学生的参与。让学生参与到课堂教学中来，让他们自主的去探究问题，发觉 知识。波利亚说：“学习任何知识的最佳途径都是由自我去发觉 ，因为这种发觉 理解最深刻，也最容易掌握其中的内在规律、性质和联系。”仅有充分发挥学生的主体作用，让学生人人参与，才能最大限度地促进学生的发展。但还是难免受传统教学观念的影响，加之经验不足，不太敢放手，怕完成不了当趟课的教学任务。之后在学校“”的教学模式下，才开始进一步尝试，并在不断的尝试中总结经验。
三、工作中存在的问题
(1）教材挖掘不深入。
(2）教法不灵活，不能吸引学生学习，对学生的引导、启发不足。
(3）新课标下新的教学思想学习不深入。对学生的自主学习，合作学习，缺乏理论指导
(4）差生末抓在手。由于对学生的了解不够，对学生的学习态度、思维本事不太清楚。上课和复习时该讲的都讲了，学生掌握的情景怎样，教师心中无数。导致了教学中的'盲目性。
四、今后奋力的方向
(1）加强学习，学习新教学模式下新的教学思想。
(2）熟读初一到初三的数学教材，深入挖掘教材，进一步把握知识点和考点。
(3）多听课，学习老教师对知识点的处理和对教材的把握，以及他们处理突发事件方法。
(4）加强转差培优力度。
(5）加强教学反思，加大教学投入。
一学期的教学工作即将结束，这半年的教学工作很苦，很累，但在不断的摸索中，自我学到了很多东西。今后我会更加奋力增高自我的业务水平。
初中数学教学案例（十五）：
教学资料分析：
⑴学习特殊的平行四边形—正方形，它的特殊的性质和判定。
⑵前面学习了平行四边形、矩形菱形，类比他们的性质与确定，有利于对正方形的研究。
⑶对本节的学习，继续培养学生分类研究的思想，并且建立新旧知识的联系，类比的基础上进行归纳，梳理知识，进一步发展学生的推理本事。
学生分析：
⑴学生在小学初步认识了正方形，并且本节课之前，学生又学习了几种平行四边形，现已具备了观察研究平行四边形的经验与知识基础。
⑵学生在上几节已有了推理的经历，可是对于证明，学生的思维本事还不成熟，有待于增高。
教学目标：
⑴知识与技能：了解正方形是特殊的平行四边形，掌握它的性质和判定，会利用性质与判定进行简单的说理。
⑵过程与方法：经过类比前边的四边形的研究，探索并归纳正方形的性质与判定。经过运用增高学生的推理本事。
⑶情感态度与价值观：在学习中体会正方形的完美性，经过活动获得成功的喜悦与自信。
重点：
掌握正方形的性质与判定，并进行简单的推理。
难点：
探索正方形的判定，发展学生的推理能
教学方法：
类比与探究
教具准备：
能够活动的四边形模型。
一、教学分析
(一)教学资料分析
1.教材：义务教育课程标准实验教科书《数学》九年级上册(人民教育出版社)
2.本课教学资料的地位、作用，知识的前后联系
《中心对称图形》是新人教版九年级数学上册第二十三章第二单元第二节课的资料。本节教材属于图形变换的资料，是在学习了“轴对称和轴对称图形”、“旋转和中心对称”后的一种对称图形，所以涉及归纳、类比等思想方法，对激发学生探索精神和创新意识等方面都有重要意义。
3.本课教学资料的特点，重点分析体现新课程理念的特点
本节课主要介绍中心对称图形的概念、中心对称图形的识别、中心对称图形与轴对称图形与中心对称的比较、中心对称图形的性质。为使学生感觉、理解知识的产生和发展过程，培养学生的抽象思维，我将经过：
(1)例举日常生活中的一些旋转对称图形引出中心对称图形的概念;
(2)引导学生观察、猜想、实验、归纳、类比等方法探究中心对称图形的性质
(3)经过多媒体演示使学生对中心对称图形的性质有直观的表象。我认为这环环相扣、层层深入、循序渐进的活动过程，贴合新课程标准理念和学生建构知识的规律，有利于激发学生的学习情趣。
(二)教学对象分析
1.学生所在地区、学校及班级的特色
我授课的班级是西安市阎良区振兴中学九年级一班，作为九年级的学生，在图形的对称方面现已积累一些经验，现已具有必须的观察、猜想、实验、归纳、类比等研究图形对称变换的本事;班级学生具有个性活泼，思维活跃，对各种事物充满好奇，学习情绪易于调动，学习进取性高的特点，但学生的抽象思维本事个体差异较大，并且班级中已出现分化现象。
2.学生的年龄特点和认知特点
班级学生的年龄大多在15岁到17岁间。他们已具备了必须的独立分析、处理问题的本事，表现欲望较为强烈，喜好发表个人见解并且具有必须的合作交流、共同探讨的意识与经验，所以在课程资料的安排中，适当地创设一些具有必须思维深度的问题，加强学生在学习过程中自主探索与合作交流的紧密结合，促使学生在探究的过程中，更多地获得成功的体验，感觉学习思考的乐趣。
教学过程：
一、复习巩固，建立联系。
【教师活动】
问题设置：①平行四边形、矩形，菱形各有哪些性质
②()的四边形是平行四边形。()的平行四边形是矩形。()的平行四边形是菱形。()的四边形是矩形。()的四边形是菱形。
【学生活动】
学生回忆，并举手回答，对于填空题，让更多的学生参与，说出更多的答案。
【教师活动】
评析学生的结果，给予表扬。
总结性质从边角对角线研究，在填空时也研究这几方面之外，还应当研究三者之间的联系与区别。
演示平行四边形变为矩形菱形的过程。
二、动手操作，探索发觉 。
活动一：拿出一张矩形纸片，拉起一角，使其宽AB落在长AD边上，如下图所示，沿着B′E剪下，能得到什么图形
【学生活动】
学生拿出自备矩形纸片，动手操作，不难发觉 它是正方形。
设置问题：①什么是正方形
观察发觉 ，从活动中体会。
【教师活动】：演示矩形变为正方形的过程，菱形变为正方形的过程。
【学生活动】认真观察变化过程，思考之间的联系，举手回答设置问题。
设置问题②正方形是矩形吗，是菱形吗是平行四边形吗为什么
【学生活动】
小组议论，分组回答。
【教师活动】
总结板书：㈠(一组邻边相等)的矩形是正方形，(一个角是直角)的菱形是正方形。
设置问题③正方形有那些性质
【学生活动】
小组议论，举手抢答。
【教师活动】
表扬学生发言，板书学生发觉 ，㈡正方形每一条对角线平分一组对角
活动二：拿出活动一得到的正方形折一折，正方形是轴对称图形吗有几条对称轴
学生活动
折纸发觉 ，说出自我的发觉 。得到正方形的又一性质。正方形是轴对称图形。
教师活动
演示从平行四边形变为正方形的过程，擦去板书㈠中的括号资料，出示一下问题：你还能够怎样填空
()的菱形是正方形，()的矩形是正方形，()的平行四边形是正方形，()的四边形是正方形。
学生活动
小组充分交流，表达不一样的意见。
教师活动
评析活动，总结发觉 ：
一组邻边相等的矩形是正方形，对角线互相平分的矩形是正方形;
有一个角是直角的菱形是正方形，对角线相等的菱形是正方形，;
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形，对角线相等且互相平分的平行四边形是正方形;
四边相等且有一角是直角的四边形是正方形，对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形。
以上是正方形的判定方法。
正方形是一个多么完美的平行四边形呀大家互相说一说，它的完美体此刻哪里生活中有哪些利用正方形的例子
学生交流，感觉正方形
三、应用体验，推理证明。
出示例一：正方形ABCD的两条对角线AC，BD交与O，AB长4cm，求AC，AO长，及的度数。
方法一解：∵四边形ABCD是正方形
∴∠ABC=90°(正方形的四个角是直角)
BC=AB=4cm(正方形的四条边相等)
∴=45°(等腰直角三角形的底角是45°)
∴利用勾股定理可知，AC===4cm
∵AO=AC(正方形的.对角线互相平分)
∴AO=×4=2cm
方法二：证明△AOB是等腰直角三角形，即可得证。
学生活动
独立思考，写出推理过程，再进行小组议论，并且各小组指派代表写在黑板上，共同交流。
教师活动
总结解题方法，从正方形的性质全面研究，正确利用条件，减少麻烦。评析解题步骤，表扬突出学生。
出示例二：在正方形ABCD中，E、F、G、H分别在它的四条边上，且AE=BF=CG=DH，四边形EFGH是什么特殊的四边形，你是如何确定的
学生活动
小组交流，分析题意，整理思路，指名口答。
教师活动
说明思路，从已知出发或者从已有的判定加以选择。
四、归纳新知，梳理知识。
这一节课你有什么收获
学生举手谈论自我的收获。
请把平行四边形，矩形，菱形，正方形分别填写在下图的ABCDC处，说明它们的关系。
发表评论
教学目标：
情意目标：培养学生团结协作的精神，体验探究成功的乐趣。
本事目标：能利用等腰梯形的性质解简单的几何计算、证明题；培养学生探究问题、自主学习的本事。
认知目标：了解梯形的概念及其分类；掌握等腰梯形的性质。
教学重点、难点
重点：等腰梯形性质的探索；
难点：梯形中辅助线的添加。
教学课件：PowerPoint演示文稿
教学方法：启发法、
学习方法：议论法、合作法、练习法
教学过程：
（一）导入
1、出示，说出每辆汽车车窗形状（投影）
2、板书课题：5梯形
3、练习：下列图形中哪些图形是梯形？（投影）
结梯形概念：仅有4、总结梯形概念：一组对边平行另以组对边不平行的四边形是梯形。
5、指出图形中各部位的名称：上底、下底、腰、高、对角线。（投影）
6、特殊梯形的分类：（投影）
（二）等腰梯形性质的探究
【探究性质一】
思考：在等腰梯形中，如果将一腰AB沿AD的方向平移到DE的位置，那么所得的△DEC是怎样的三角形？（投影）
猜想：由此你能得到等腰梯形的内角有什么样的性质？（学生操作、议论、作答）
如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD。求证：∠B=∠C
想一想：等腰梯形ABCD中，∠A与∠D是否相等？为什么？
等腰梯形性质：等腰梯形的同一条底边上的两个内角相等。
【操练】
（1）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，∠B=60o，BC=10cm，AD=4cm，则腰AB=cm。（投影）
（2）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，DE∥AC，交BC的延长线于点E，CA平分∠BCD，求证：∠B=2∠E.（投影）
【探究性质二】
如果连接等腰梯形的两条对角线，图中有哪几对全等三角形？哪些线段相等？（学生操作、议论、作答）
如上图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AC、BD相交于O，求证：AC=BD。（投影）
等腰梯形性质：等腰梯形的两条对角线相等。
【探究性质三】
问题一：延长等腰梯形的两腰，哪些三角形是轴对称图形？为什么？对称轴呢？（学生操作、作答）
问题二：等腰梯是否轴对称图形？为什么？对称轴是什么？（重点议论）
等腰梯形性质：同以底上的两个内角相等，对角线相等
（三）质疑反思、小结
让学生回顾本课教学资料，并提出尚存问题；
学生小结，教师视具体情景给予提示：性质（从边、角、对角线、对称性等角度总结）解题方法（化梯形问题为三角形及平行四边形问题）梯形中辅助线的添加方法。
初中数学教学案例（十六）：
教学目标：
（1）能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。
（2）注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习习惯
重点难点：
能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。
教学过程：
一、试一试
1.设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为xm，先取x的一些值，算出矩形的另一边BC的长，进而得出矩形的面积ym2．试将计算结果填写在下表的空格中，
2．x的值是否能够任意取有限定范围吗
3．我们发觉 ，当AB的长(x)确定后，矩形的面积(y)也随之确定，y是x的函数，试写出这个函数的关系式，
对于1.，可让学生根据表中给出的AB的长，填出相应的BC的长和面积，然后引导学生观察表格中数据的变化情景，提出问题：(1)从所填表格中，你能发觉 什么？(2)对前面提出的问题的解答能作出什么猜想让学生思考、交流、发表意见，达成共识：当AB的长为5cm，BC的长为10m时，围成的矩形面积最大；最大面积为50m2。对于2，可让学生分组议论、交流，然后各组派代表发表意见。构成共识，x的值不能够任意取，有限定范围，其范围是0＜x＜10。对于3，教师可提出问题，(1)当AB=xm时，BC长等于多少m(2)面积y等于多少并指出y=x(20－2x)(0＜x＜10)就是所求的函数关系式．
二、提出问题
某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件．该店想经过降低售价、增加销售量的办法来增高利润，经过市场调查，发觉 这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大在这个问题中，可提出如下问题供学生思考并回答：
1．商品的利润与售价、进价以及销售量之间有什么关系
[利润=(售价－进价)×销售量]
2．如果不降低售价，该商品每件利润是多少元一天总的利润是多少元
[10－8=2(元)，(10－8)×100=200(元)]
3．若每件商品降价x元，则每件商品的利润是多少元一天可销
售约多少件商品
[(10－8－x)；(100＋100x)]
4．x的值是否能够任意取如果不能任意取，请求出它的范围，
[x的值不能任意取，其范围是0≤x≤2]
5．若设该商品每一天的利润为y元，求y与x的函数关系式。
[y=(10－8－x)(100＋100x)(0≤x≤2)]
将函数关系式y=x(20－2x)(0＜x＜10＝化为：
y=－2x2＋20x(0＜x＜10)……………………………(1)将函数关系式y=(10－8－x)(100＋100x)(0≤x≤2)化为：y=－100x2＋100x＋20D(0≤x≤2)……………………(2)
三、观察；概括
1.教师引导学生观察函数关系式(1)和(2)，提出以下问题让学生思考回答；
(1)函数关系式(1)和(2)的自变量各有几个
(各有1个)
(2)多项式－2x2＋20和－100x2＋100x＋200分别是几次多项式(分别是二次多项式)
(3)函数关系式(1)和(2)有什么共同特点
(都是用自变量的二次多项式来表示的)
(4)本章导图中的问题以及P1页的问题2有什么共同特点？让学生议论、交流，发表意见，归结为：自变量x为何值时，函数y取得最大值。
2．二次函数定义：形如y=ax2＋bx＋c(a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数，a叫做二次函数的系数，b叫做一次项的系数，c叫作常数项．
四、课堂练习
1.(口答)下列函数中，哪些是二次函数
(1)y=5x＋1(2)y=4x2－1
(3)y=2x3－3x2(4)y=5x4－3x＋1
2．P3练习第1，2题。
五、小结
1．请叙述二次函数的定义．
2，许多实际问题能够转化为二次函数来处理，请你联系生活实际，编一道二次函数应用题，并写出函数关系式。
六、作业：略
初中数学教学案例（十七）：
一、教学目标
1、了解二次根式的意义；
2、掌握用简单的一元一次不等式处理二次根式中字母的取值问题；
3、掌握二次根式的性质和，并能灵活应用；
4、经过二次根式的计算培养学生的逻辑思维本事；
5、经过二次根式性质和的介绍渗透对称性、规律性的数学美。
二、教学重点和难点
重点：
（1）二次根的意义；
（2）二次根式中字母的取值范围。
难点：确定二次根式中字母的取值范围。
三、教学方法
启发式、讲练结合。
四、教学过程
（一）复习提问
1、什么叫平方根、算术平方根？
2、说出下列各式的意义，并计算
（二）引入新课
新课：二次根式
定义：式子叫做二次根式。
对于请同学们议论论应注意的问题，引导学生总结：
（1）式子仅有在条件a≥0时才叫二次根式，是二次根式吗？呢？
若根式中包含字母必须保证根号下式子大于等于零，所以字母范围的限制也是根式的一部分。
（2）是二次根式，而，提问学生：2是二次根式吗？显然不是，所以二次
根式指的是某种式子的“外在形态”。请学生举出几个二次根式的例子，并说明为什么是二次根式。下头例题根据二次根式定义，由学生分析、回答。
例1当a为实数时，下列各式中哪些是二次根式？
例2x是怎样的实数时，式子在实数范围有意义？
解：略。
说明：这个问题实质上是在x是什么数时，x—3是非负数，式子有意义。
例3当字母取何值时，下列各式为二次根式：
分析：由二次根式的定义，被开方数必须是非负数，把问题转化为解不等式。
解：（1）∵a、b为任意实数时，都有a2+b2≥0，∴当a、b为任意实数时，是二次根式。
（2）—3x≥0，x≤0，即x≤0时，是二次根式。
（3），且x≠0，∴x>0，当x>0时，是二次根式。
（4），即，故x—2≥0且x—2≠0，∴x>2。当x>2时，是二次根式。
例4下列各式是二次根式，求式子中的字母所满足的条件：
分析：这个例题根据二次根式定义，让学生分析式子中字母应满足的条件，进一步巩固二次根式的定义，。即：仅有在条件a≥0时才叫二次根式，本题已知各式都为二次根式，故请求各式中的被开方数都大于等于零。
解：（1）由2a+3≥0，得。
（2）由，得3a—1>0，解得。
（3）由于x取任何实数时都有|x|≥0，所以，|x|+0。1>0，于是，式子是二次根式。所以所求字母x的取值范围是全体实数。
（4）由—b2≥0得b2≤0，仅有当b=0时，才有b2=0，所以，字母b所满足的条件是：b=0。
初中数学教学案例（十八）：
一、教学目标：
1、理解二元一次方程及二元一次方程的解的概念；
2、学会求出某二元一次方程的几个解和检验某对数值是否为二元一次方程的解；
3、学会把二元一次方程中的一个未知数用另一个未知数的一次式来表示；
4、在处理问题的过程中，渗透类比的思想方法，并渗透德育教育。
二、教学重点、难点：
重点：二元一次方程的意义及二元一次方程的解的概念。
难点：把一个二元一次方程变构成用关于一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，其实质是解一个包含字母系数的方程。
三、教学方法与教学手段：
经过与一元一次方程的比较，加强学生的类比的思想方法；经过“合作学习”，使学生认识数学是根据实际的需要而产生发展的观点。
四、教学过程：
1、情景导入：
新闻链接：x70岁以上老人可领取生活补助。
得到方程：80a+150b=902880、
2、新课教学：
引导学生观察方程80a+150b=902880与一元一次方程有异同？
得出二元一次方程的概念：包含两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1次的方程叫做二元一次方程。
做一做：
（1）根据题意列出方程：
①小明去看望奶奶，买了5kg苹果和3kg梨共花去23元，分别求苹果和梨的单价、设苹果的单价x元kg，梨的单价y元kg；
②在高速公路上，一辆轿车行驶2时的路程比一辆卡车行驶3时的路程还多20千米，如果设轿车的速度是a千米小时，卡车的速度是b千米小时，可得方程：
（2）课本P80练习2、判定哪些式子是二元一次方程方程。
合作学习：
活动背景爱心满人间——记求是中学“学雷锋、关爱老人”志愿者活动。
问题：参加活动的36名志愿者，分为劳动组和文艺组，其中劳动组每组3人，文艺组每组6人、团支书拟安排8个劳动组，2个文艺组，单从人数上研究，此方案是否可行？为什么？把x=8，y=2代入二元一次方程3x+6y=36，看看左右两边有没有相等？由学生检验得出代入方程后，能使方程两边相等、得出二元一次方程的解的概念：使二元一次方程两边的值相等的'一对未知数的值叫做二元一次方程的一个解。
并提出注意二元一次方程解的书写方法。
3、合作学习：
给定方程x+2y=8，男同学给出y（x取绝对值小于10的整数）的值，女同学立刻给出对应的x的值；接下来男女同学互换、（比一比哪位同学反应快）请算的最快最正确的同学讲他的计算方法、提问：给出x的值，计算y的值时，y的系数为多少时，计算y最为简便？
出示例题：已知二元一次方程x+2y=8。
（1）用关于y的代数式表示x；
（2）用关于x的代数式表示y；
（3）求当x=2，0，—3时，对应的y的值，并写出方程x+2y=8的三个解。
（当用含x的一次式来表示y后，再请同学做游戏，让同学体会一下计算的速度是否要快）
4、课堂练习：
（1）已知：5xm—2yn=4是二元一次方程，则m+n=；
（2）二元一次方程2x—y=3中，方程可变形为y=当x=2时，y=；
5、你能处理吗？
小红到邮局给远在农村的爷爷寄挂号信，需要邮资3元8角、小红有票额为6角和8角的邮票若干张，问各需要多少张这两种面额的邮票？说说你的方案。
6、课堂小结：
（1）二元一次方程的意义及二元一次方程的解的概念（注意书写格式）；
（2）二元一次方程解的不定性和有关性；
（3）会把二元一次方程化为用一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式。
7、布置作业：
初中数学教学案例（十九）：
一、教学目标：
1、明白一次函数与正比例函数的定义。
2、理解掌握一次函数的图象的特征和有关的性质。
3、弄清一次函数与正比例函数的区别与联系。
4、掌握直线的平移法则简单应用。
5、能应用本章的基础知识熟练地处理数学问题。
二、教学重、难点：
重点：初步构建比较系统的函数知识体系。
难点：对直线的平移法则的理解，体会数形结合思想。
三、教学过程：
1、一次函数与正比例函数的定义：
一次函数：一般地，若y=kx+b（其中k，b为常数且k≠0），那么y是一次函数。
正比例函数：对于y=kx+b，当b=0，k≠0时，有y=kx，此时称y是x的正比例函数，k为正比例系数。
2、一次函数与正比例函数的区别与联系：
（1）从解析式看：y=kx+b（k≠0，b是常数）是一次函数；而y=kx（k≠0，b=0）是正比例函数，显然正比例函数是一次函数的特例，一次函数是正比例函数的推广。
（2）从图象看：正比例函数y=kx（k≠0）的图象是过原点（0，0）的一条直线；而一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是过点（0，b）且与y=kx
平行的一条直线。
基础训练：
1、写出一个图象经过点（1，—3）的函数解析式为：
2、直线y=—2X—2不经过第象限，y随x的增大而。
3、如果P（2，k）在直线y=2x+2上，那么点P到x轴的距离是：
4、已知正比例函数y=（3k—1）x，，若y随x的增大而增大，则k是：
5、过点（0，2）且与直线y=3x平行的直线是：
6、若正比例函数y=（1—2m）x的图像过点A（x1，y1）和点B（x2，y2）当x1＜x2时，y1＞y2，则m的取值范围是：
7、若y—2与x—2成正比例，当x=—2时，y=4，则x=时，y=—4。
8、直线y=—5x+b与直线y=x—3都交y轴上同一点，则b的值为。
9、已知圆O的半径为1，过点A（2，0）的直线切圆O于点B，交y轴于点C。
（1）求线段AB的长。
（2）求直线AC的解析式。
初中数学教学案例（二十）：
一、资料简介
本节课的主题：经过一系列的探究活动，引导学生从计算结果中总结出完全平方公式的两种形式。
关键消息：
1、以教材作为出发点，依据《数学课程标准》，引导学生体会、参与科学探究过程。首先提出等号左边的两个相乘的多项式和等号右边得出的三项有什么关系。经过学生自主、独立的发觉 问题，对可能的答案做出假设与猜想，并经过多次的检验，得出正确的结论。学生经过收集和处理消息、表达与交流等活动，获得知识、技能、方法、态度异常是创新精神和实践本事等方面的发展。
2、用标准的数学语言得出结论，使学生感觉科学的严谨，启迪学习态度和方法。
二、学习者分析：
1、在学习本课之前应具备的基本知识和技能：
①同类项的定义。
②合并同类项法则
③多项式乘以多项式法则。
2、学习者对即将学习的资料现已具备的水平：
在学习完全平方公式之前，学生现已能够整理出公式的右边形式。这节课的目的就是让学生从等号的左边形式和右边形式之间的关系，总结出公式的应用方法。
三、教学学习目标及其对应的课程标准：
(一)教学目标：
1、经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推力本事。
2、会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算。
(二)知识与技能：经历从具体情境中抽象出符号的过程，认识有理数、实数、代数式、防城、不等式、函数;掌握必要的运算，(包含估算)技能;探索具体问题中的数量关系和变化规律，并能运用代数式、防城、不等式、函数等进行描述。
(四)处理问题：能结合具体情景发觉 并提出数学问题;尝试从不一样角度寻求处理问题的方法，并能有效地处理问题，尝试评价不一样方法之间的差异;经过对处理问题过程的反思，获得处理问题的经验。
(五)情感与态度：敢于应对数学活动中的困难，并有独立克服困难和运用知识处理问题的成功体验，有学好数学的自信心;并尊重与理解他人的见解;能从交流中获益。
四、教育理念和教学方式：
1、教师是学生学习的组织者、促进者、合作者：学生是学习的主人，在教师指导下主动的、富有个性的学习，用自我的身体去亲自经历，用自我的心灵去亲自感悟。
教学是师生交往、进取互动、共同发展的过程。当学生迷路的时候，教师不轻易告诉方向，而是引导他怎样去辨明方向;当学生登山畏惧了的时候，教师不是拖着他走，而是唤起他内在的精神动力，鼓励他不断向上攀登。
2、采用“问题情景—探究交流—得出结论—强化训练”的模式展开教学。
3、教学评价方式：
(1)经过课堂观察，关注学生在观察、总结、训练等活动中的主动参与程度与合作交流意识，及时给与鼓励、强化、指导和矫正。
(2)经过确定和举例，给学生更多机遇，在天然放松的状态下，揭示思维过程和反馈知识与技能的掌握情景，使教师能够及时诊断学情，调查教学。
(3)经过课后访谈和作业分析，及时查漏补缺，确保到达预期的教学效果。
五、课后反思
本节课虽然算不上课本中的难点，但在整式一章中是个重点。它是多项式乘法特殊形式下的一种简便运算。学生需要熟练掌握公式两种形式的使用方法，以增高运算速度。授课过程中，应注重让学生总结公式的等号两边的特点，让学生用语言表达公式的资料，让学生说明运用公式过程中容易出现的问题和异常注意的细节。然后再经过逐层深入的练习，巩固完全平方公式两种形式的应用。为完全平方公式第二节课的实际应用和增高应用做好充分的准备
初中数学教学案例（二十一）：
近年来，命题改革中加强对学生阅读本事的考核，异常是阅读理解题成了中考数学的新题不仅仅在各级各类的命题改革中加强对学生阅读本事的考核，对数学阅读教学提出了新的请求，并且从人的发展、人才的培养角度思考，也需要加强数学阅读本事的培养。异常是阅读理解题成了中考数学的新题型，具有很强的选拔功能。所以，在初中数学教学中，应当重视阅读教学，充分利用阅读的形式，加强数学阅读本事的培养。
一、加强广大师生对数学阅读重要性的理解
数学教科书是专家在充分研究学生生理心理特征、教育教学原理、数学学科特点等因素的基础上精心编写而成，具有极高的阅读价值。数学教学活动中，数学阅读是“人——本”对话的数学交流形式。在这种形式中，学生能经过教科书的标准语言来规范自我的数学用语，能有效地促进数学阅读水平的发展，正确叙述解题过程中有关的观点和进行严谨的逻辑推理。所以，数学阅读不仅仅能促进学生数学语言水平的发展，并且有助于学生更好地掌握数学。另外，每年一度的中考试题中都设置了数学应用题，阅读理解题，而学生每遇到应用题的问答便觉得困难重重，其主要原因是学生缺乏阅读数学的方法。所以，数学教学有必要重视数学阅读。
二、初中数学阅读教学的教学原则
在初中数学教学中进行阅读教学，应当遵循如下的教学原则：
1．主体性原则。从根本上承认和尊重受学生的主体性，使学生能动地参与到数学阅读活动的全过程中来，将自我进行的阅读活动作为意识对象，不断对其进行进取的监控，调节；规划阅读进程，独自获得必要的消息和资料；不断培养自我监控，自我调节的习惯，逐步学会探索地进行数学阅读与数学学习。
2．差异性原则。学生在个体发展区、学习方式、知识基础、思维品质等多种因素上的差异导致学生阅读本事的差异。也决定了教师必须对不一样层面学生给以不一样的关注，在阅读过程中，学生独立阅读的过程为教师供给了充足的课堂巡视时间，使教师能够将统一学习变成个别指导，重点对个别阅读本事较差进行指导。
3．内化性原则。内化的基本条件是对数学语言的感知水平，不仅仅包含对数学学科本身的概念、法则、定律、公式等的理解，并且包含学生的元认知水平的控制和调节。所以，在阅读过程中要不断地使学生充分实践监控的各种具体策略和技能，进而逐步内化为自我监控本事，使其能在新的条件下，灵活运用这些策略和技能进行自我监控。
4．反馈性原则。个体的自我反馈，自我评价的意识和本事是至关重要的。教师应及时、正确、适当地对学生的自我监控做出评价，指导他们逐步学会对学习方法，策略运用及结果进行反馈和评价。同时，学生根据教师的指导，对自我的阅读监控过程，所用的策略及结果进行调控和改善，不断增高思维的抽象概括水平，从而不断发展与完善自我的数学认知结构。
5．建构性原则。阅读过程是数学建构的过程，是经过对数学材料进行部分与整体的交替感知去构建数学结构，领悟形式化运动的过程。在阅读过程中学生主动探索，充分利用数学知识特有的逻辑性和数学资料的结构特点，不断在课文的适当地方由上文做出猜想、估计，再经过与已知相对照，加以修正，从而获得新知识。
三、实施数学阅读教学的具体途径
1.预习的阅读指导
在课堂教学中存在这样的现象：部分学生认为，没有预习的必要，反正教师都要讲，上课认真听就是了。这是一种错误的认识。预习的作用主要表此刻以下几个方面：能增高学生听课的效率，有利于他们更好地做课堂笔记；培养学生的自学本事；能够巩固学生对知识的记忆。那么，怎样指导学生预习呢？能够按如下步骤进行：首先选择好预习的时间，指导学生迅速地浏览即将学习的教材，然后让他们带着问题详细阅读第二遍，并在阅读过程中做好预习笔记，以便于接下来学生能有目的地听课。
2.数学教材的阅读指导
（1）阅读目录标题。目录标题是课本的纲目，是每一章节的精华。阅读目录标题就等于了解了全文的框架结构。阅读了课本资料就使目录标题具体化了。逐步养成“标题联想”的习惯。
（2）阅读概念
我们所期望到达的指导效果是：让学生在阅读概念时能够正确理解概念中的字、词、句，能正确进行文字语言、图形语言和符号语言的互译，并能注意到联系实际找出反例或实物；学生能弄清数学概念的内涵和外延，也就是既能区分相近的概念，又能明白其适用范围。
（3）阅读代数式
大多数学生在阅读代数式时，只是按照代数式的顺序去读。教师应教会学生用多种方法读同一个代数式，同时，在阅读的过程中要注意式子本身的特点及其普遍性。
（4）阅读例题
对于初中学生例题阅读的指导，应按以下几个步骤进行：首先，要让学生认真审题；分析解题过程的关键所在，尝试解题；其次，要让学生比较例题和教材解法的优劣，对一组有关联的例题要相互比较，着力寻找，领悟解题规律，掌握规范书写格式。并使解题过程的表达即简洁又贴合书写格式；最终，还要引导学生总结解题规律，并奋力探求新的解题途径。
（5）阅读公式
不要让学生死记硬背公式，关键是要让他们看清教材是怎样把公式一步一步推导出来的，要提醒学生注意认真阅读公式的推导过程。同时要让学生明白公式的特征并能设法记住，另外还要让他们注意公式的应用条件，弄明白有关公式的内在联系，了解公式的运用、通用、合用、变用和巧用。
（6）阅读数学定理。注意分清定理的条件和结论；探讨定理的证明途径和方法，经过与课本对照，分析证法的正误、优劣；注意联系类似定理，进行分析比较、掌握其应用；要思考定理可否逆用，推广及引伸。
（7）阅读提示与说明
教材中有关知识及许多习题的后面都附有说明或小括号式的提示语。例如，代数式概念中的“运算符号”，教材特指加、减、乘、除、乘方运算；要告诉学生对于这些说明或提示语，千万不可忽视，往往解题的某一条件或关键正隐藏在那里，同时对选学资料，教师也应在自习课上给出有关的阅读材料。
（8）阅读章头图和小结
章头图让学生对本章要学的知识有一个初步的认识和了解，明确要学的资料，做到心中有数、目的明确；而认真阅读小结，则能教学生学会自我总结，这是一个归纳、总结、提升的过程。
3.加强课外阅读，丰富学生知识
近年来应用题的考试情景告诉我们，数学阅读不能仅仅局限于教材。教师应向学生推荐适宜的课外阅读材料，给学生供给一些数学应用题让学生阅读，不必须请求他们全会做，但必须弄清题意，对于当今社会实践中出现的新名词有所了解，如“低炭”、“环保”、“利息税”、“利润”、“毛利润”等。
四、数学阅读教学的价值
重视数学阅读，培养阅读本事，有助于个别化学习，使每个学生都能够经过自身的奋力到达他所能到达的最高水平，实现素质教育的目标。要想使数学素质教育的目标得到落实，使学生不再感到数学难学，就必须重视数学阅读教学。教师应加强指导学生认真阅读课文，强调学生对数学课文的阅读和理解，以促使学生养成良好的自学本事，即终身学习的本事。这将在整个中学数学教学中构成一种以培养自学本事为目的的教学风气，同时有利于转变数学教师的教学观念，改变传统的教学方式，优化过程，增高技巧，增高课堂教学的效率，拓展教师的视野及知识结构。
初中数学教学案例（二十二）：
一、教学目的：
1．理解并掌握菱形的定义及两个判定方法；会用这些判定方法进行有关的论证和计算；
2．在菱形的判定方法的探索与综合应用中，培养学生的观察本事、动手本事及逻辑思维本事．
二、重点、难点
1．教学重点：菱形的两个判定方法．
2．教学难点：判定方法的证明方法及运用．
三、例题的意图分析
本节课安排了两个例题，其中例1是教材P109的例3，例2是一道补充的题目，这两个题目都是菱形判定方法的直接的运用，主要目的是能让学生掌握菱形的判定方法，并会用这些判定方法进行有关的论证和计算．这些题目的推理都比较简单，学生掌握起来不会有什么困难，能够让学生自我去完成．程度好一些的班级，能够选讲例3．
四、课堂引入
1．复习
（1）菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形；
（2）菱形的性质1菱形的四条边都相等；
性质2菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；
（3）运用菱形的定义进行菱形的判定，应具备几个条件？（判定：2个条件）
2．【问题】要判定一个四边形是菱形，除根据定义判定外，还有其它的判定方法吗？
3．【探究】（教材P109的探究）用一长一短两根木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形．转动木条，这个四边形什么时候变成菱形？
经过演示，容易得到：
菱形判定方法1对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
注意此方法包含两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直．
经过教材P109下头菱形的作图，能够得到从一般四边形直接判定菱形的方法：
菱形判定方法2四边都相等的四边形是菱形．
五、例习题分析
例1（教材P109的例3）略
例2（补充）已知：如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．
求证：四边形AFCE是菱形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥FC．
∴∠1=∠2．
又∠AOE=∠COF，AO=CO，
∴△AOE≌△COF．
∴EO=FO．
∴四边形AFCE是平行四边形．
又EF⊥AC，
∴AFCE是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)．
※例3（选讲）已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，CD⊥AB与D，EH⊥AB于H，CD交BE于F．
求证：四边形CEHF为菱形．
略证：易证CF∥EH，CE=EH，在Rt△BCE中，∠CBE+∠CEB=90°，在Rt△BDF中，∠DBF+∠DFB=90°，因为∠CBE=∠DBF，∠CFE=∠DFB，所以∠CEB=∠CFE，所以CE=CF．
所以，CF=CE=EH，CF∥EH，所以四边形CEHF为菱形．
六、随堂练习
1．填空：
（1）对角线互相平分的四边形是；
（2）对角线互相垂直平分的四边形是________；
（3）对角线相等且互相平分的四边形是________；
（4）两组对边分别平行，且对角线的四边形是菱形．
2．画一个菱形，使它的两条对角线长分别为6cm、8cm．
3．如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，DE和CE相交于E，求证：四边形OCED是菱形。
七、课后练习
1．下列条件中，能判定四边形是菱形的是（）
（A）两条对角线相等（B）两条对角线互相垂直
（C）两条对角线相等且互相垂直（D）两条对角线互相垂直平分
2．已知：如图，M是等腰三角形ABC底边BC上的中点，DM⊥AB，EF⊥AB，ME⊥AC，DG⊥AC．求证：四边形MEND是菱形．
3．做一做：
设计一个由菱形组成的花边图案．花边的长为15cm，宽为4cm，由有一条对角线在同一条直线上的四个菱形组成，前一个菱形对角线的交点，是后一个菱形的一个顶点．画出花边图形．
初中数学教学案例（二十三）：
教材分析：
一元二次方程根与系数的关系的知识资料主要是以前一单元中的求根公式为基础的。教材经过一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根x1、x2得出一元二次方程根与系数的关系，以及以数x1、x2为根的一元二次方程的求方程模型。然后经过4个例题介绍了利用根与系数的关系简化一些计算的知识。
学情分析：
1．学生已学习用求根公式法解一元二次方程。
2．本课的教学对象是九年级学生，学生对事物的认识多是直观、形象的，他们所注意的多是事物外部的、直接的、具体形象的特征。
3．在教学初始，出示一些学生所熟悉和感兴趣的东西，结合一元二次方程求根公式使他们在现代化的教学模式和传统的教学模式相结合的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系。
教学目标：
1、知识目标：请求学生在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一元二次方程两个根的倒数和与平方数，两根之差。
2、本事目标：经过韦达定理的教学过程，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展推理本事，能有条理地、清晰地阐述自我的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神。
3、情感目标：经过情境教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生进取学习数学的态度。体验数学活动中充满着探索与创造，体验数学活动中的成功感，建立自信心。
教学重难点：
1、重点：一元二次方程根与系数的关系。
2、难点：让学生从具体方程的根发觉 一元二次方程根与系数之间的关系，并用语言表述，以及由一个已知方程求作新方程，使新方程的根与已知的方程的根有某种关系，比较抽象，学生真正掌握有必须的难度，是教学的难点。
板书设计：
一元二次方程根与系数的关系如果ax+bx+c=0（a≠0）的两根是x1，x2，那么x1+x2=，x1x2=。
问题6.在方程ax+bx+c=0（a≠0）中，a、b、c的作用吗？①二次项系数a是否为零，决定着方程是否为二次方程；②当a≠0时，b=0，a、c异号，方程两根互为相反数；③当a≠0时，△=b-4ac可判定根的情景；④当a≠0，b-4ac≥0时，x1+x2=，x1x2=。⑤当a≠0，c=0时，方程必有一根为0。
学生学习活动评价设计：
本节课充分让学生分析、观察、增高了学生的归纳本事及推理论证的本事。
教学反思：
1．一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行。它深化了两根的和与积同系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情景的主要工具，必须熟记，为进一步使用打下基础。
2．以一元二次方程根与系数的关系的探索与推导，向学生展示认识事物的一般规律，提倡进取思维，勇于探索的精神，借此锻炼学生分析、观察、归纳的本事及推理论证的本事。
3．一元二次方程的根与系数的关系，在中考中多以填空，选择，解答题的形式出现，考查的频率较高，也常与几何、二次函数等问题结合考查，是考试的热点，它是方程理论的重要组成部分。
4．使学生体会解题方法的多样性，开阔解题思路，优化解题方法，增强择优本事。力求让学生在自主探索和合作交流的过程中进行学习，获得数学活动经验，教师应注意引导。
初中数学教学案例（二十四）：
教学目标：
1、使学生学会较熟炼地运用切线的判定方法和切线的性质证明问题.
2、掌握运用切线的性质和切线的判定的有关问题中辅助线引法的基本规律.
教学重点：
使学生正确、熟炼、灵活地运用切线的判定方法及其性质.教学难点：学生对题目不能正确地进行论证.证题中常会出现不知如何入手，不知往哪个方向证的情形.
教学过程：
一、新课引入：
我们现已系统地学习了切线的判定方法和切线的性质，此刻我们来利用这些知识证明有关几何问题.
二、新课讲解：
实际上在几何证明题中，我们更多地将切线的判定定理和性质定理应用在具体的问题中，而一道几何题的分析过程，是证题中的最关键步骤.p.109例3如图7-58，已知：ab是⊙o的直径，bc是⊙o的切线，切点为b，oc平行于弦ad.求证：dc是⊙o的切线.
分析：欲证cd是⊙o的切线，d是⊙o的弦ad的一个端点当然在⊙o上，属于公共点已给定，而证直线是圆的切线的情形.所以辅助线应当是连结oc.只要证od⊥cd即可.亦就是证∠odc=90°，所以只要证∠odc=∠obc即可，观察图形，两个角分别位于△odc和△obc中，如果两个三角形相似或全等都能够产生对应角相等的结果.而图形中已存在明显的条件od=ob，oc=oc，只要证∠3=∠4，便可造成两个三角形全等.
∠3如何等于∠4呢题中还有一个已知条件ad∥oc，平行的位置关系，能够造成角的相等关系，从而导致∠3=∠4.命题得证.证明：连结od.教师向学生解释书上的证题格式属于推出法和因为所以法的联用，以后证题中同学能够借鉴.p.110例4如图7-59，在以o为圆心的两个同心圆中，大圆的弦ab和cd相等，且ab与小圆相切于点e求证：cd与小圆相切.
分析：欲证cd与小⊙o相切，但读题后发觉 直线cd与小⊙o并未已知公共点.这个时候我们必须从圆心o向cd作垂线，设垂足为f.此时f点在直线cd上，如果我们能证得of等于小⊙o的半径，则说明点f必在小⊙o上，即可根据切线的判定定理认定cd与小⊙o相切.题目中已告诉我们ab切小⊙o于e，连结oe，便得到小⊙o的一条半径，再根据大⊙o中弦相等则弦心距也相等，则可得到of=oe.证明：连结oe，过o作of⊥cd，重足为f.
请同学们注意本题中证一条直线是圆的切线时，这种证明途径是由直线与圆的公共点来给定所决定的.
练习一
p.111，1.已知：oc平分∠aob，d是oc上任意一点，⊙d与oa相切于点e.求证：ob与⊙d相切.分析：审题后发觉 欲证的ob与⊙d相切，属于ob与⊙d无公共点的情景.这时应从圆心d向⊙b作垂线，垂足为f，然后证垂线段df等于⊙b的一条半径，而题目中已给oa与⊙d切于点e，只要连结de.再根据角平分线的性质，问题便得到处理.证明：连结de，作df⊥ob，重足为f.p.111中2.已知如图7-61，△abc为等腰三角形，o是底边bc的中点，⊙o与腰ab相切于点d.求证：ac与⊙o相切.
分析：欲证ac与⊙o相切，同第1题一样，同属于直线与圆的公共点未给定情景.辅助线的方法同第1题，证法类同.只可是要针对本题特点还要连结oa.从等腰三角形的”三线合一”的性质出发，证得oa平分∠bac，然后再根据角平分线的性质，使问题得到证明.证明：连结od、oa，作oe⊥ac，垂足为e.同学们想一想，在证明oe=od时，还能够怎样证
(答案)可经过“角、角、边”证rt△odb≌rt△oec.
三、新课讲解
为培养学生阅读教材的习惯让学生阅读109页到110页.从中总结出本课的主要资料：
1.在证题中熟练应用切线的判定方法和切线的性质.
2.在证明一条直线是圆的切线时，只能遇到两种情形之一，针对不一样的情形，选择恰当的证明途径，务必使同学们真正掌握.
(1)公共点已给定.做法是“连结”半径，让半径“垂直”于直线.
(2)公共点未给定.做法是从圆心向直线“作垂线”，证“垂线段等于半径”.
四、布置作业
1.教材p.116中8、9.2.教材p.117中2.
初中数学教学案例（二十五）：
在教学过程中，很多教师总认为自我在上课中讲得井井有条，知识条理十分透彻，演算透彻清晰，但结果是有大多数学生不能举一反三，数学学习困难重重。产生这种现象的原因，多数教师都归因于学生素质差、家庭教育环境不良等教师以外的因素，很少发觉 是自我教学本事和素养导致而成。
课堂教学是师生的双边活动。课堂教学的实质是师生双方的消息交流，共同学校的过程。教师得知学生在数学学习很困难时，是否想到了可能教师自我对教材理解不够，没有正确地把握教材的重点、难点，对教材资料层次没有理清和教学方法不适呢？《数学课程标准》指导下，我们的数学教学目的是要学生在数学学习中，由“听”到“懂”，再到“会”，最终到“通”。为此，教师必须深刻反思自我的教育教学行为，批判性地考察自我主体行为表现及其行为依据。经过观察、回顾、诊断、自我监控等方式，或给予肯定、支持与强化，或给予否定、思索与修正，将“学会教学”与“学会学习”结合起来，从而奋力提升教学实践的合理性，增高课堂教学效能，到达增高教学质量的目的。现就以下几方面谈谈自我的看法。
一、教师要反思教育观念
新课标下请求教师要改变学科的教育观，始终体现“学生是教学活动的主体”科学理念，着眼于学生的终身发展，注重培养学生浓厚的学习兴趣和正确的学习习惯。数学十分重视教学资料与实际生活的紧密联系。可是在教学活动中还是有不少教师习惯于传统的教学模式，偏重于知识的传授，强调理解式学习，这样使很多学生在学习数学上失去了兴趣。教学中教师要抓住时机，不断地引导学生在设疑、质疑、解疑的过程中，创设认知“冲突”，激发学生持续的学习兴趣和求知欲望，顺利地建立数学概念，把握数学定义、定理和规律。
教师在探究教学中要立足与培养学生的独立性和自主性，引导他们质疑、调查和探究，学会在实践中学，在合作中学，逐步构成适合于自我的学习策略。例如，在学习等腰三角形三线合一的性质时能够让三个同学合作分别去画出顶角平分线、底边上的高、底边上的中线，这是学生会发觉 三条线为什么会是一条线？证明三角形全等的方法有多种，为什么“角边边”不能判定两三角形全等？在学习镶嵌时，能够提这样的问题，为什么正三角形、正方形、长方形正六边形能够，而正五边形不能够？等等。
这样教师不断地设问，不断地质疑，就能引导学生进行进取思考，激发起学生浓厚的学习兴趣和求知欲望，促使学生在生活中发觉 和归纳各种各样的数学规律，为下一步学习数学知识打下坚实的基础。所以我们的教师必须反思自我的教育观念，紧紧抓住主导和主体的关系，处理好学生学习进取性的问题。
二、教师要反思教学设计
教学设计是课堂教学的蓝本，是对课堂教学的整体规划和预设，勾勒出了课堂教学活动的效益取向。设计教学方案时，教师对当前的教学资料及其地位（概念的“解构”、思想方法的“析出”、有关知识的联系方式等），学生已有知识经验，教学目的，重点与难点，如何依据学生已有认知水平和知识的逻辑过程设计教学过程，如何突出重点和突破难点，学生在理解概念和思想方法时可能会出现哪些情景以及如何处理这些情景，设计哪些练习以巩固新知识，如何评价学生的学习效果等，都应当有必须的思考和预设。教学设计的反思就是对这些思考和预设是否研究到了。教学后，要对实际进程和学生的理解程度进行比较和反思，找出成功和不足之处及其原因，从而有效地改善教学。
三、教师要反思教学方法
教师教得好，本质上讲是学生学得好。在实际教学过程中我们的教学方法是否合乎学生实际呢？上课、评卷、答疑解难时，有的教师自以为讲清楚明白了，学生受到了必须的启发，但反思后发觉 ，教师的讲解并没有很好地从学生原有的知识基础出发，从根本上处理学生认识上鸿沟问题。有的教师只是一味的设想按照自我某个固定的程序去处理某一类问题，也许学生当时听明白了，但往往是是而非，并没有真正理解问题的本质。
初中数学教学中，例习题教学是数学教学中重要的组成部分，是概念类教学的延伸和发展。教材中的例习题都是编者精心编制的，具有典型性和启发性，它们不仅仅是对基础知识的巩固，同时对培养学生智力、掌握数学思想和方法，及培养学生应用数学意识和本事，增高学生的数学素养等都有重要意义。
四、教师要反思学生学习方法
《数学课程标准》指出，有效的数学学习活动不能单纯依靠模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式，所以，转变数学学习方式，倡导有意义的学习方式是课程改革的核心任务。初中学生年龄一般在十二至十六岁之间，正处生长发育期，思想不成熟，行为不稳定，办事情绪化，喜表露，易冲动，既有面见师长的羞涩，有初生牛犊不怕虎的习性。在数学学习上凭兴趣，看心境，个性反映较为突出，有不少学生学习方法也存在必须的问题。同时他们往往又很难发觉 自我的学习方法不妥。所以，教师就应当反思学生的学习方法，找一找哪些问题，并帮助他们奋力改变不恰当的方法，使学生到达《新课标》的请求。
总之，为学之道，必本与思，思则得之，不思则不得。教学也是这个规律，只教不思就会成为教死书的教书匠，学生也得不到很好的受益。要想成为优秀的教师，仅有一边教书一边总结，一边教书一边反思，才能实现自我的目的。
初中数学教学案例（二十六）：
教学目标：
1、了解公式的意义，使学生能用公式处理简单的实际问题；
2、初步培养学生观察、分析及概括的本事；
3、经过本节课的教学，使学生初步了解公式来源于实践又反作用于实践。
教学提议：
一、教学重点、难点
重点：经过具体例子了解公式、应用公式。
难点：从实际问题中发觉 数量之间的关系并抽象为具体的公式，要注意从中反应出来的归纳的思想方法。
二、重点、难点分析
人们从一些实际问题中抽象出许多常用的、基本的数量关系，往往写成公式，以便应用。如本课中梯形、圆的面积公式。应用这些公式时，首先要弄清楚公式中的字母所表示的意义，以及这些字母之间的数量关系，然后就能够利用公式由已知数求出所需的未知数。具体计算时，就是求代数式的值了。有的公式，能够借助运算推导出来；有的公式，则能够经过实验，从得到的反映数量关系的一些数据（如数据表）出发，用数学方法归纳出来。用这些抽象出的具有一般性的公式处理一些问题，会给我们认识和改造世界带来很多方便。
三、知识结构
本节一开始首先概述了一些常见的公式，之后三道例题循序渐进的讲解了公式的直接应用、公式的先推导后应用以及经过观察归纳推导公式处理一些实际问题。整节资料渗透了由一般到特殊、再由特殊到一般的辨证思想。
四、教法提议
1、对于给定的能够直接应用的公式，首先在给出具体例子的前提下，教师创设情境，引导学生清晰地认识公式中每一个字母、数字的意义，以及这些数量之间的对应关系，在具体例子的基础上，使学生参与挖倔其中蕴涵的思想，明确公式的应用具有普遍性，到达对公式的灵活应用。
2、在教学过程中，应使学生认识有时问题的处理并没有现成的公式可套，这就需要学生自我尝试探求数量之间的关系，在已有公式的基础上，经过分析和具体运算推导新公式。
3、在处理实际问题时，学生应观察哪些量是不变的，哪些量是变化的，明确数量之间的对应变化规律，依据规律列出公式，再根据公式进一步地处理问题。这种从特殊到一般、再从一般到特殊认识过程，有助于增高学生分析问题、处理问题的本事。
教学设计示例：
一、教学目标
（一）知识教学点
1、使学生能利用公式处理简单的实际问题。
2、使学生理解公式与代数式的关系。
（二）本事训练点
1、利用数学公式处理实际问题的本事。
2、利用已知的公式推导新公式的本事。
（三）德育渗透点
数学来源于生产实践，又反过来服务于生产实践。
（四）美育渗透点
数学公式是用简洁的数学形式来阐明天然规定，处理实际问题，构成了色彩斑斓的多种数学方法，从而使学生感觉到数学公式的简洁美。
二、学法引导
1、数学方法：引导发觉 法，以复习提问小学里学过的公式为基础、突破难点。
2、学生学法：观察→分析→推导→计算。
三、重点、难点、疑点及处理办法
1、重点：利用旧公式推导出新的图形的计算公式。
2、难点：同重点。
3、疑点：把请求的图形如何分解成现已熟悉的图形的和或差。
四、课时安排
1课时
五、教具学具准备
投影仪，自制胶片。
六、师生互动活动设计
教者投影显示推导梯形面积计算公式的图形，学生思考，师生共同完成例1解答；教者启发学生求图形的面积，师生总结求图形面积的公式。
七、教学步骤
（一）创设情景，复习引入
师：同学们现已明白，代数的一个重要特点就是用字母表示数，用字母表示数有很多应用，公式就是其中之一，我们在小学里学过许多公式，请大家回忆一下，我们现已学过哪些公式，教法说明，让学生一开始就参与课堂教学，使学生在后面利用公式计算感到不生疏。
在学生说出几个公式后，师提出本节课我们应在小学学习的基础上，研究如何运用公式处理实际问题。
板书：公式
师：小学里学过哪些面积公式？
板书：S=ah
（出示投影1）。解释三角形，梯形面积公式
【教法说明】让学生感知用割补法求图形的面积。
初中数学教学案例（二十七）：
一、资料特点
在知识与方法上类似于数系的第一次扩张。
也是后继资料学习的基础。
资料定位：了解无理数、实数概念，了解（算术）平方根的概念；会用根号表示数的（算术）平方根，会求平方根、立方根，用有理数估计一个无理数的大致范围，实数简单的四则运算（不请求分母有理化）。
二、设计思路
整体设计思路：无理数的引入----无理数的表示----实数及其有关概念（包含实数运算），实数的应用贯穿于资料的始终。
学习对象----实数概念及其运算；学习过程----经过拼图活动引进无理数，经过具体问题的处理说明如何表示无理数，进而建立实数概念；以类比，归纳探索的方式，寻求实数的运算法则；学习方式----操作、猜测、抽象、验证、类比、推理等。
具体过程：首先经过拼图活动和计算器探索活动，给出无理数的概念，然后经过具体问题的处理，引入平方根和立方根的概念和开方运算。
最终教科书总结实数的概念及其分类，并用类比的方法引入实数的有关概念、运算律和运算性质等。
第一节：数怎样又不够用了：经过拼图活动，让学生感觉无理数产生的实际背景和引入的必要性；借助计算器探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼近的思想；会确定一个数是有理数还是无理数。
第二、三节：平方根、立方根：如何表示正方形的边长？它的值到底是多少？并引入算术平方根、平方根、立方根等概念和开方运算。
第四节：公园有多宽：在实际生活和生产实际中，对于无理数我们常常经过估算来求它的近似值，为此这一节资料介绍估算的方法，包含经过估算比较大小，检验计算结果的合理性等，其目的是发展学生的数感。
第五节：用计算器开方：会用计算器求平方根和立方根。
经历运用计算器探求数学规律的活动，发展合情推理的本事。
第六节：实数。
总结实数的概念及其分类，并用类比的.方法引入实数的有关概念、运算律和运算性质等。
三、一些提议
1．注重概念的构成过程，让学生在概念的构成的过程中，逐步理解所学的概念；关注学生对无理数和实数概念的意义理解。
2．鼓励学生进行探索和交流，重视学生的分析、概括、交流等本事的考察。
3．注意运用类比的方法，使学生清楚新旧知识的区别和联系。
4．淡化二次根式的概念。
初中数学教学案例（二十八）：
在初中的数学教学过程中，函数教学是比较难的章节，我们该如何设计我们的教学过程呢？下头我来谈谈我的一些很浅的看法：首先函数是刻画和研究现实世界变化规律的重要模型，也是初中数学里代数领域的重要资料，它在初中数学中具有较强的综合性。在教学中，学生常常觉得函数抽象深奥，高不可攀，教师也觉得函数难讲，讲了学生也理解不了，理解了也不会解题。事实果真如此难教又难学吗？下头我谈谈在教学设计方面一些方法和实践。
一、注重类比教学
不一样的事物往往具有一些相同或相似的属性，人们正是利用相似事物具有的这种属性，经过对一事物的认识来认识与它相似的另一事物，这种认识事物的思维方法就是类比法，利用类比的思想进行教学设计实施教学，可称为类比教学。在函数教学中我们期望的是经过对前面知识的学习方法的传授，到达对后续知识的学习产生影响，使学生到达举一反三，触类旁通的目的，让学生顺利地由学会到会学，真正实现教是为了不教的目的。有经验的教师都会发觉 ，初中学习的正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数在概念的得来、图象性质的研究、及基本解题方法上都有着本质上的相似。所以采用类比的教学方法不但省时、省力，还有助于学生的理解和应用。是一种既经济又实效的教学方法。下头我就举例说明如何采用类比的方法实现函数的教学。
首先是正比例函数，它是一次函数特例，也是初中数学中的一种简单最基本的函数。可是，我们有些教师却因为正比例函数过于简单，而轻视。匆匆给出概念，然后应用。等到讲到一次函数、反比例函数、二次函数又感到力不从心，学生理解起来概念模糊，性质混乱，解题方法不明确。造成这种困扰的原因是因为忽视正比例函数的基础作用，我们应当借助正比例函数这个最简单的函数载体，把函数研究经典流程完整呈现，正所谓麻雀虽小，五脏俱全。再学习其他函数时，在此基础上类比学习，循序渐进，螺旋上升。例如：
《正比例函数》教学流程
（一）环节一：概念的建立
经过对问题的处理用函数y=200x来反映汽车的行程与时间的对应规律引入新课。学生自觉思考教师提问，共同得出每个问题的函数关系式。引导学生观察以上函数关系式的特点得出正比例函数的描述定义及解析式特点。
（二）环节二：函数图象
这个环节是教学的重点，由学生先动手按列表——描点——连线的过程画函数y=2x和y=-2x的图象，相互交流比较然后教师利用多媒体展示画函数图象的过程并经过比较使学生正确掌握画函数图象的方法。
（三）环节三：探究函数性质
让学生观察函数图象并引导学生经过比较来归纳正比例函数的性质，这个环节是本课的难点，教师要引导学生从图象的形状，从左往右的升降情景，经过的象限及自变量变化时函数值的变化规律。这几个方面来归纳，最终得出正比例函数的性质。
（四）环节四：概念的归纳
将观察、探究出的函数图象的特征、函数的性质等做出系统的归纳。
二、注重数形结合的教学
数形结合的思想方法是初中数学中一种重要的思想方法。数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学。而数形结合就是经过数与形之间的对应和转化来处理数学问题。它包含以形助数和以数解形两个方面，利用它可使复杂问题简单化，抽象问题具体化，它兼有数的严谨与形的直观之长。
函数的三种表示方法：解析法、列表法、图象法本身就体现着函数的数形结合。函数图象就是将变化抽象的函数拍照下来研究的有效工具，函数教学离不开函数图象的研究。在借助图象研究函数的过程中，我们需要注意以下几点原则：
（1）让学生经历绘制函数图象的具体过程。首先，对于函数图象的意义，仅有学生在亲身经历了列表、描点、连线等绘制函数图象的具体过程，才能明白函数图象的由来，才能了解图象上点的横、纵坐标与自变量值、函数值的对应关系，为学生利用函数图象数形结合研究函数性质打好基础。其次，对于具体的一次函数、反比例函数、二次函数的图象的认识，学生经过亲身画图，自我发觉 函数图象的形状、变化趋势，感悟不一样函数图象之间的关系，为发觉 函数图象间的规律，探索函数的性质做好准备。
（2）切莫急于呈现画函数图象的简单画法。首先，在探索具体函数形状时，不能取得点太少，否则学生无法发觉 点分布的规律，从而猜想出图象的形状；其次，教师过早强调图象的.简单画法，追求方法的最优化，缩短了学生知识探索的经历过程。所以，在教新知识时，教师要允许学生从最简单甚至最笨拙的方法做起，渐渐过渡到最佳方法的掌握，到达认识上的最佳状态。
（3）注意让学生体会研究具体函数图象规律的方法。初中阶段一般采用两种方法研究函数图象：一是有特殊到一般的归纳法，二是控制参数法。
函数是一个整体，各个具体函数是函数的特例，研究方法应是相同的，经过类比和数形结合的方法，比较性质的差异性，将具体函数逐步纳入到整个函数学习中去，这也贴合教材设计的螺旋式上升的理念。这样天然使二次函数变得难着不难，水到渠成。
关于待定系数法，首先要让学生理解感觉到待定系数法的本质：对于某些数学问题，如果已知所求结果具有某种确定的形式，则可引进一些尚待确定的系数来表示这种结果，经过已知条件建立起给定的算式和结果之间的恒等式，得到以待定系数为元的方程或方程组，解之即得待定的系数。待定系数法在确定各种函数解析式中有着重要的作用，不论是正、反比例函数，还是一次函数、二次函数，确定函数解析式时都离不开待定系数法。所以我们要重视简单的正比例函数、一次函数的待定系数法的.应用。要在简单的函数中讲出待定系数法的本质来，等到了反比例函数和二次函数及综合情景，学生已能构成本事，自如使用此方法，这时就是技巧的点拨。
初中数学教学案例（二十九）：
教学目的
1.经过对多个实际问题的分析，使学生体会到一元一次方程作为实际问题的数学模型的作用。
2.使学生会列一元一次方程处理一些简单的应用题。
3.会确定一个数是不是某个方程的解。
重点、难点
1.重点：会列一元一次方程处理一些简单的应用题。
2.难点：弄清题意，找出“相等关系”。
教学过程
一、复习提问
一本笔记本1.2元。小红有6元钱，那么她最多能买到几本这样的笔记本呢？
解：设小红能买到工本笔记本，那么根据题意，得1.2x=6
因为1.2×5=6，所以小红能买到5本笔记本。
二、新授
问题1：某校初中一年级328名师生乘车外出春游，已有2辆校车能够乘坐64人，还需租用44座的客车多少辆？（让学生思考后，回答，教师再作讲评）
算术法：（328-64）÷44=264÷44=6（辆）
列方程：设需要租用x辆客车，可得44x+64=328
解这个方程，就能得到所求的结果。
问：你会解这个方程吗？试试看？
问题2：在课外活动中，张教师发觉 同学们的年龄大多是13岁，就问同学：“我今年45岁，几年以后你们的'年龄是我年龄的三分之一？”
经过分析，列出方程：13+x=（45+x）
问：你会解这个方程吗？你能否从小敏同学的解法中得到启发？
把x=3代人方程（2），左边=13+3=16，右边=（45+3）=×48=16，
因为左边=右边，所以x=3就是这个方程的解。
这种经过试验的方法得出方程的解，这也是一种基本的数学思想方法。也能够据此检验一下一个数是不是方程的解。
问：若把例2中的“三分之一”改为“二分之一”，那么答案是多少？动手试一试，大家发觉 了什么问题？
同样，用检验的方法也很难得到方程的解，因为那里x的值很大。另外，有的方程的解不必须是整数，该从何试起？如何试验根本无法人手，又该怎样办？
三、巩固练习
教科书第3页练习1、2。
四、小结
本节课我们主要学习了怎样列方程解应用题的方法，处理一些实际问题。谈谈你的学习体会。
五、作业
教科书第3页，习题6.1第1、3题。
初中数学教学案例（三十）：
教学目标：
（1）能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。
（2）注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习习惯
重点难点：
能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。
教学过程：
一、试一试
1.设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为xm，先取x的一些值，算出矩形的另一边BC的长，进而得出矩形的面积ym2．试将计算结果填写在下表的空格中，
2．x的值是否能够任意取有限定范围吗
3．我们发觉 ，当AB的长(x)确定后，矩形的面积(y)也随之确定，y是x的函数，试写出这个函数的关系式，
对于1.，可让学生根据表中给出的AB的长，填出相应的BC的长和面积，然后引导学生观察表格中数据的变化情景，提出问题：(1)从所填表格中，你能发觉 什么？(2)对前面提出的问题的解答能作出什么猜想让学生思考、交流、发表意见，达成共识：当AB的长为5cm，BC的长为10m时，围成的.矩形面积最大；最大面积为50m2。对于2，可让学生分组议论、交流，然后各组派代表发表意见。构成共识，x的值不能够任意取，有限定范围，其范围是0＜x＜10。对于3，教师可提出问题，(1)当AB=xm时，BC长等于多少m(2)面积y等于多少并指出y=x(20－2x)(0＜x＜10)就是所求的函数关系式．
二、提出问题
某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件．该店想经过降低售价、增加销售量的办法来增高利润，经过市场调查，发觉 这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大在这个问题中，可提出如下问题供学生思考并回答：
1．商品的利润与售价、进价以及销售量之间有什么关系
[利润=(售价－进价)×销售量]
2．如果不降低售价，该商品每件利润是多少元一天总的利润是多少元
[10－8=2(元)，(10－8)×100=200(元)]
3．若每件商品降价x元，则每件商品的利润是多少元一天可销
售约多少件商品
[(10－8－x)；(100＋100x)]
4．x的值是否能够任意取如果不能任意取，请求出它的范围，
[x的值不能任意取，其范围是0≤x≤2]
5．若设该商品每一天的利润为y元，求y与x的函数关系式。
[y=(10－8－x)(100＋100x)(0≤x≤2)]
将函数关系式y=x(20－2x)(0＜x＜10＝化为：
y=－2x2＋20x(0＜x＜10)……………………………(1)将函数关系式y=(10－8－x)(100＋100x)(0≤x≤2)化为：y=－100x2＋100x＋20D(0≤x≤2)……………………(2)
三、观察；概括
1.教师引导学生观察函数关系式(1)和(2)，提出以下问题让学生思考回答；
(1)函数关系式(1)和(2)的自变量各有几个
(各有1个)
(2)多项式－2x2＋20和－100x2＋100x＋200分别是几次多项式(分别是二次多项式)
(3)函数关系式(1)和(2)有什么共同特点
(都是用自变量的二次多项式来表示的)
(4)本章导图中的问题以及P1页的问题2有什么共同特点？让学生议论、交流，发表意见，归结为：自变量x为何值时，函数y取得最大值。
2．二次函数定义：形如y=ax2＋bx＋c(a、b、、c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数，a叫做二次函数的系数，b叫做一次项的系数，c叫作常数项．
四、课堂练习
1.(口答)下列函数中，哪些是二次函数
(1)y=5x＋1(2)y=4x2－1
(3)y=2x3－3x2(4)y=5x4－3x＋1
2．P3练习第1，2题。
五、小结
1．请叙述二次函数的定义．
2，许多实际问题能够转化为二次函数来处理，请你联系生活实际，编一道二次函数应用题，并写出函数关系式。
六、作业：略
初中数学教学案例（三十一）：
一、教学目标
1、了解二次根式的意义；
2、掌握用简单的一元一次不等式处理二次根式中字母的取值问题；
3、掌握二次根式的性质和，并能灵活应用；
4、经过二次根式的计算培养学生的逻辑思维本事；
5、经过二次根式性质和的介绍渗透对称性、规律性的数学美。
二、教学重点和难点
重点：
（1）二次根的意义；
（2）二次根式中字母的取值范围。
难点：确定二次根式中字母的取值范围。
三、教学方法
启发式、讲练结合。
四、教学过程
（一）复习提问
1、什么叫平方根、算术平方根？
2、说出下列各式的意义，并计算
（二）引入新课
新课：二次根式
定义：式子叫做二次根式。
对于请同学们议论论应注意的问题，引导学生总结：
（1）式子仅有在条件a≥0时才叫二次根式，是二次根式吗？呢？
若根式中包含字母必须保证根号下式子大于等于零，所以字母范围的限制也是根式的一部分。
（2）是二次根式，而，提问学生：2是二次根式吗？显然不是，所以二次
根式指的是某种式子的“外在形态”。请学生举出几个二次根式的例子，并说明为什么是二次根式。下头例题根据二次根式定义，由学生分析、回答。
例1当a为实数时，下列各式中哪些是二次根式？
例2x是怎样的实数时，式子在实数范围有意义？
解：略。
说明：这个问题实质上是在x是什么数时，x—3是非负数，式子有意义。
例3当字母取何值时，下列各式为二次根式：
分析：由二次根式的'定义，被开方数必须是非负数，把问题转化为解不等式。
解：（1）∵a、b为任意实数时，都有a2+b2≥0，∴当a、b为任意实数时，是二次根式。
（2）—3x≥0，x≤0，即x≤0时，是二次根式。
（3），且x≠0，∴x>0，当x>0时，是二次根式。
（4），即，故x—2≥0且x—2≠0，∴x>2。当x>2时，是二次根式。
例4下列各式是二次根式，求式子中的字母所满足的条件：
分析：这个例题根据二次根式定义，让学生分析式子中字母应满足的条件，进一步巩固二次根式的定义，。即：仅有在条件a≥0时才叫二次根式，本题已知各式都为二次根式，故请求各式中的被开方数都大于等于零。
解：（1）由2a+3≥0，得。
（2）由，得3a—1>0，解得。
（3）由于x取任何实数时都有|x|≥0，所以，|x|+0。1>0，于是，式子是二次根式。所以所求字母x的取值范围是全体实数。
（4）由—b2≥0得b2≤0，仅有当b=0时，才有b2=0，所以，字母b所满足的条件是：b=0。
初中数学教学案例（三十二）：
一、教材分析
本节课是人民教育出版社义务教育课程标准实验教科书（六三学制）七年级下册第七章第三节多边形内角和。
二、教学目标
1、知识目标：了解多边形内角和公式。
2、数学思考：经过把多边形转化成三角形体会转化思想在几何中的运用，同时让学生体会从特殊到一般的认识问题的方法。
3、处理问题：经过探索多边形内角和公式，尝试从不一样角度寻求处理问题的方法并能有效地处理问题。
4、情感态度目标：经过猜想、推理活动感觉数学活动充满着探索以及数学结论的确定性，增高学生学习热情。
三、教学重、难点
重点：探索多边形内角和。
难点：探索多边形内角和时，如何把多边形转化成三角形。
四、教学方法：引导发觉 法、议论法
五、教具、学具
教具：多媒体课件
学具：三角板、量角器
六、教学媒体：大屏幕、实物投影
七、教学过程：
（一）创设情境，设疑激思
师：大家都明白三角形的内角和是180，那么四边形的内角和，你明白吗？
活动一：探究四边形内角和。
在独立探索的基础上，学生分组交流与研讨，并汇总处理问题的方法。
方法一：用量角器量出四个角的度数，然后把四个角加起来，发觉 内角和是360。
方法二：把两个三角形纸板拼在一齐构成四边形，发觉 两个三角形内角和相加是360。
接下来，教师在方法二的基础上引导学生利用作辅助线的方法，连结四边形的对角线，把一个四边形转化成两个三角形。
师：你明白五边形的内角和吗？六边形呢？十边形呢？你是怎样得到的？
活动二：探究五边形、六边形、十边形的内角和。
学生先独立思考每个问题再分组议论。
关注：
（1）学生能否类比四边形的方式处理问题得出正确的结论。
（2）学生能否采用不一样的方法。
学生分组议论后进行交流（五边形的内角和）
方法1：把五边形分成三个三角形，3个180的和是540。
方法2：从五边形内部一点出发，把五边形分成五个三角形，然后用5个180的和减去一个周角360。结果得540。
方法3：从五边形一边上任意一点出发把五边形分成四个三角形，然后用4个180的和减去一个平角180，结果得540。
方法4：把五边形分成一个三角形和一个四边形，然后用180加上360，结果得540。
师：你真聪明！做到了学以致用。
交流后，学生运用几何画板演示并验证得到的方法。
得到五边形的内角和之后，同学们又认真地议论起六边形、十边形的内角和。类比四边形、五边形的议论方法最终得出，六边形内角和是720，十边形内角和是1440。
（二）引申思考，培养创新
师：经过前面的议论，你能明白多边形内角和吗？
活动三：探究任意多边形的内角和公式。
思考：
（1）多边形内角和与三角形内角和的关系？
（2）多边形的边数与内角和的关系？
（3）从多边形一个顶点引的对角线分三角形的个数与多边形边数的关系？
学生结合思考题进行议论，并把议论后的结果进行交流。
发觉 1：四边形内角和是2个180的和，五边形内角和是3个180的和，六边形内角和是4个180的和，十边形内角和是8个180的和。发觉 2：多边形的边数增加1，内角和增加180。
发觉 3：一个n边形从一个顶点引出的对角线分三角形的个数与边数n存在（n-2）的关系。
得出结论：多边形内角和公式：（n-2）·180。
（三）实际应用，优势互补
1、口答：（1）七边形内角和（）
（2）九边形内角和（）
（3）十边形内角和（）
2、抢答：（1）一个多边形的内角和等于1260，它是几边形？
（2）一个多边形的内角和是1440，且每个内角都相等，则每个内角的度数是（）。
3、议论回答：一个多边形的内角和比四边形的内角和多540，并且这个多边形的各个内角都相等，这个多边形每个内角等于多少度？
（四）概括存储
学生自我归纳总结：
1、多边形内角和公式
2、运用转化思想处理数学问题
3、用数形结合的思想处理问题
（五）作业：练习册第93页1、2、3
八、教学反思：
1、教的转变
本节课教师的主角从知识的传授者转变为学生学习的组织者、引导者、合作者与共同研究者，在引导学生画图、测量发觉 结论后，利用几何画板直观地展示，激发学生自觉探究数学问题，体验发觉 的乐趣。
2、学的转变
学生的主角从学会转变为会学。本节课学生不是停留在学会课本知识层面，而是站在研究者的角度深入其境。
3、课堂氛围的转变
整节课以“流畅、开放、合作、隐导”为基本特征，教师对学生的思维减少干预，教学过程呈现一种比较流畅的特征。整节课学生与学生，学生与教师之间以“对话”、“议论”为出发点，以互助合作为手段，以处理问题为目的，让学生在一个比较宽松的环境中自主选择获得成功的方向，确定发觉 的价值。
初中数学教学案例（三十三）：
教学目标：
1.会用待定系数法求反比例函数的解析式.
2.经过实例进一步加深对反比例函数的认识，能结合具体情境，体会反比例函数的意义，理解比例系数的具体的意义.
3.会经过已知自变量的值求相应的反比例函数的值.运用已知反比例函数的值求相应自变量的值处理一些简单的问题.
重点：用待定系数法求反比例函数的解析式.
难点：例3要用科学知识，又要用不等式的知识，学生不易理解.
教学过程：
一.复习
1、反比例函数的定义：
确定下列说法是否正确(对‖√‖，错‖3‖)
(1)一矩形的面积为20cm2，相邻的两条边长分别为x(cm)和y(cm)，变量y是变量x的反比例函数.(2)圆的面积公式sr2中，s与r成正比例.(3)矩形的长为a，宽为b，周长为C，当C为常量时，a是b的反比例函数.方形的边长为x，高为y，当其体积V为常量时，y是x的反比例函数.(4)一个正四棱柱的底面正
定时，商和除数成反比例.(5)当被除数（不为零）一
(6)计划修建铁路1200km，则铺轨天数y(d)是每日铺轨量x(kmd)的反比例函数.
2、思考：如何确定反比例函数的解析式
(1)已知y是x的反比例函数，比例系数是3，则函数解析式是_______
(2)当m为何值时，函数4是反比例函数，并求出其函数解析式．y2m2关键是确定比例系数!x
二.新课
1.例2：已知变量y与x成反比例，且当x=2时y=9，写出y与x之间的函数解析式和自变量的取值范围。小结：要确定一个反比例函数yk的.解析式，只需求出比例系数k。如果已知一对自变量与函数的对应值，x
3时，y=2，求这个函数的解析式和自变量的取值范围。4就能够先求出比例系数，然后写出所请求的反比例函数。2.练习：已知y是关于x的反比例函数，当x=
3.说一说它们的求法：
(1)已知变量y与x-5成反比例，且当x=2时y=9，写出y与x之间的函数解析式.
(2)已知变量y-1与x成反比例，且当x=2时y=9，写出y与x之间的函数解析式.
4.例3、设汽车前灯电路上的电压坚持不变，选用灯泡的电阻为R(Ω)，经过电流的强度为I(A)。
（1）已知一个汽车前灯的电阻为30Ω，经过的电流为0.40A，求I关于R的函数解析式，并说明比例系数的实际意义。
（2）如果接上新灯泡的电阻大于30Ω，那么与原先的相比，汽车前灯的亮度将发生什么变化？
在例3的教学中可作如下启发：
（1）电流、电阻、电压之间有何关系？
（2）在电压U坚持不变的前提下，电流强度I与电阻R成哪种函数关系？
（3）前灯的亮度取决于哪个变量的大小？如何决定？
先让学生尝试练习，后师生一齐点评。
三.巩固练习：
1.当质量必须时，二氧化碳的体积V与密度p成反比例。且V=5m3时，p=1．98kg／m3
（1）求p与V的函数关系式，并指出自变量的取值范围。
（2）求V=9m3时，二氧化碳的密度。
四.拓展：
1.已知y与z成正比例，z与x成反比例，当x=-4时，z=3，y=-4.求：
(1)Y关于x的函数解析式;
(2)当z=-1时，x，y的值.
2.已知yy1y2，y1与x成正例，y2与x成反比例，并且x2与x3时，y的
值都等于10，求y与x之间的函数关系。
五.交流反思
求反比例函数的解析式一般有两种情形：一种是在已知条件中明确告知变量之间成反比例函数关系，如例2；另一种是变量之间的关系由已学的数量关系直接给出，如例3中的I
六.布置作业：P4B组
初中数学教学案例（三十四）：
一、资料特点
在知识与方法上类似于数系的第一次扩张。也是后继资料学习的基础。
资料定位：了解无理数、实数概念，了解（算术）平方根的概念；会用根号表示数的（算术）平方根，会求平方根、立方根，用有理数估计一个无理数的大致范围，实数简单的四则运算（不请求分母有理化）。
二、设计思路
整体设计思路：
无理数的引入----无理数的表示----实数及其有关概念（包含实数运算），实数的应用贯穿于资料的.始终。
学习对象----实数概念及其运算；学习过程----经过拼图活动引进无理数，经过具体问题的处理说明如何表示无理数，进而建立实数概念；以类比，归纳探索的方式，寻求实数的运算法则；学习方式----操作、猜测、抽象、验证、类比、推理等。
具体过程：
首先经过拼图活动和计算器探索活动，给出无理数的概念，然后经过具体问题的处理，引入平方根和立方根的概念和开方运算。最终教科书总结实数的概念及其分类，并用类比的方法引入实数的有关概念、运算律和运算性质等。
第一节：数怎样又不够用了：经过拼图活动，让学生感觉无理数产生的实际背景和引入的必要性；借助计算器探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼近的思想；会确定一个数是有理数还是无理数。
第二、三节：平方根、立方根：如何表示正方形的边长？它的值到底是多少？并引入算术平方根、平方根、立方根等概念和开方运算。
第四节：公园有多宽：在实际生活和生产实际中，对于无理数我们常常经过估算来求它的近似值，为此这一节资料介绍估算的方法，包含经过估算比较大小，检验计算结果的合理性等，其目的是发展学生的数感。
第五节：用计算器开方：会用计算器求平方根和立方根。经历运用计算器探求数学规律的活动，发展合情推理的本事。
第六节：实数。总结实数的概念及其分类，并用类比的方法引入实数的有关概念、运算律和运算性质等。
三、一些提议
1．注重概念的构成过程，让学生在概念的构成的过程中，逐步理解所学的概念；关注学生对无理数和实数概念的意义理解。
2．鼓励学生进行探索和交流，重视学生的分析、概括、交流等本事的考察。
3．注意运用类比的方法，使学生清楚新旧知识的区别和联系。
4．淡化二次根式的概念。
初中数学教学案例（三十五）：
问题描述：
初中数学教学案例
初中的，随便那个年级.2000字.案例和反思
1个回答分类：数学2014-11-30
问题解答：
我来补答
2.3平行线的性质
一、教材分析：
本节课是人民教育出版社义务教育课程标准实验教科书（五四学制）七年级上册第2章第3节平行线的性质，它是平行线及直线平行的继续，是后面研究平移等资料的基础，是“空间与图形”的重要组成部分.
二、教学目标：
知识与技能：掌握平行线的性质，能应用性质处理有关问题.
数学思考：在平行线的性质的探究过程中，让学生经历观察、比较、联想、分析、归纳、猜想、概括的全过程.
处理问题：经过探究平行线的性质，使学生构成数形结合的数学思想方法，以及建模本事、创新意识和创新精神.
情感态度与价值观：在探究活动中，让学生获得亲自参与研究的情感体验，从而增强学生学习数学的热情和勇于探索、锲而不舍的精神.
三、教学重、难点：
重点：平行线的性质
难点：“性质1”的探究过程
四、教学方法：
“引导发觉 法”与“动像探索法”
五、教具、学具：
教具：多媒体课件
学具：三角板、量角器.
六、教学媒体：
大屏幕、实物投影
七、教学过程：
（一）创设情境，设疑激思：
1．播放一组幻灯片.资料：①火车行驶在铁轨上；②游泳池；③横格纸.
2．声音：日常生活中我们经常会遇到平行线，你能说出直线平行的条件吗
学生活动：
思考回答.①同位角相等两直线平行；②内错角相等两直线平行；③同旁内角互补两直线平行；
教师：首先肯定学生的回答，然后提出问题.
问题：若两直线平行，那么同位角、内错角、同旁内角各有什么关系呢
引出课题——平行线的性质.
（二）数形结合，探究性质
1．画图探究，归纳猜想
任意画出两条平行线（a‖b），画一条截线c与这两条平行线相交，标出8个角（如图）.
问题一：指出图中的同位角，并度量这些角，把结果填入下表：
第一组
第二组
第三组
第四组
同位角
∠1
∠5
角的度数
数量关系
学生活动：画图——度量——填表——猜想
结论：两直线平行，同位角相等.
问题二：再画出一条截线d，看你的猜想结论是否仍然成立
学生：探究、议论，最终得出结论：仍然成立.
2．教师用《几何画板》课件验证猜想
3．性质1.两条直线被第三条直线所截，同位角相等.（两直线平行，同位角相等）
（三）引申思考，培养创新
问题三：请确定内错角、同旁内角各有什么关系
学生活动：独立探究——小组议论——成果展示.
教师活动：引导学生说理.
因为a‖b因为a‖b
所以∠1＝∠2所以∠1＝∠2
又∠1＝∠3又∠1+∠4＝180°
所以∠2＝∠3所以∠2+∠4＝180°
语言叙述：
性质2两条直线被第三条直线所截，内错角相等.
（两直线平行，内错角相等）
性质3两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补.
（两直线平行，同旁内角互补）
（四）实际应用，优势互补
1.（抢答）
（1）如图，平行线AB、CD被直线AE所截
①若∠1=110°，则∠2=°.理由：.
②若∠1=110°，则∠3=°.理由：.
③若∠1=110°，则∠4=°.理由：.
（2）如图，由AB‖CD，可得（）
（A）∠1＝∠2（B）∠2＝∠3
（C）∠1＝∠4（D）∠3＝∠4
（3）如图，AB‖CD‖EF，
那么∠BAC＋∠ACE＋∠CEF＝（）
（A）180°（B）270°（C）360°（D）540°
（4）谁问谁答：如图，直线a‖b，
如：∠1＝54°时，∠2＝.
学生提问，并找出回答问题的同学.
2.（议论解答）
如图是一块梯形铁片的残余部分，量得∠A＝100°，
∠B＝115°，求梯形另外两角分别是多少度
（五）概括存储（小结）
1．平行线的性质1、2、3；
2．用“运动”的观点观察数学问题；
3．用数形结合的方法来处理问题.
（六）作业第69页2、4、7.
八、教学反思：
①教的转变：本节课教师的主角从知识的传授者转变为学生学习的组织者、引导者、合作者与共同研究者.在引导学生画图、测量、发觉 结论后，利用几何画板直观地、动态地展示同位角的关系，激发学生自觉地探究数学问题，体验发觉 的乐趣.
②学的转变：学生的主角从学会转变为会学.本节课学生不是停留在学会课本知识的层面上，而是站在研究者的角度深入其境.
③课堂氛围的转变：整节课以“流畅、开放、合作、‘隐’导”为基本特征，教师对学生的思维活动减少干预，教学过程呈现一种比较流畅的特征，整节课学生与学生、学生与教师之间以“对话”、“议论”为出发点，以互助、合作为手段，以处理问题为目的，让学生在一个较为宽松的环境中自主选择获得成功的方向，确定发觉 的价值.